CSP-S 2019图论总结
一、最短路问题
模板
Floyd算法
void floyd()
{
memset(map,0x3f,sizeof(map));
for(int i=1;i<=n;i++)
map[i][i]=0;
for(int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
map[i][j]=min(map[i][j],map[i][k]+map[k][j]);
}
Dijkstra算法
const int INF=1e9;
void dijkstra(int s)
{
int temp,k,y;
memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
memset(v,0,sizeof(v));
dist[s]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
temp=INF;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(dist[j]<temp && !v[j])
k=j,temp=dist[j];
v[k]=1;
for(int j=head[i];j;j=nxt[j])
{
y=to[i];
if(dist[y]>dist[k]+val[j])
dist[y]=dist[k]+val[j];
}
}
}
SPFA算法
void spfa(int s)
{
memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
memset(v,0,sizeof(v));
queue<int> q;
q.push(s);v[s]=1;dist[s]=0;
while(!q.empty())
{
int x=q.front();
v[x]=0;q.pop();
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int y=to[i];
if(dist[y]>dist[x]+val[i])
{
dist[y]=dist[x]+val[i];
if(!v[y])
v[y]=1,q.push(y);
}
}
}
}
堆优化Dijkstra算法
void dijkstra()
{
memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
dist[0]=0;
q.push(make_pair(0,0));
while(!q.empty())
{
int x=q.top().second;
if(v[x])
{
q.pop();
continue;
}
x=q.top().second;q.pop();v[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int y=to[i];
if(dist[y]>dist[x]+val[i])
dist[y]=dist[x]+val[i],q.push(make_pair(-dist[y],y));
}
}
}
SPFA的优化
模板详见：
常见问题及解决方法
1、各种最短路算法的选择及应用（分析复杂度，拍熟模板、弄清楚这几种算法不能解决什么问题）
2、依据题意灵活建图（例题：VIJOS-P1423 最佳路线）
3、反向建图及反向建图的应用（例题：[NOIP2009]最优贸易 T3）
4、第K短路问题
5、最短路和DP的结合（例题：[ZJOI2006]物流运输）
6、最短路的优化（例题：[USACO10DEC]苹果交货Apple Delivery）
7、多重最短路问题（例题：[USACO14OPEN]GPS的决斗Dueling GPS's）
8、对偶边的处理
9、最短路路径记录
二、生成树问题
模板
Kruskal算法
void kruskal()
{
sort(e+1,e+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int fx=find(e[i].x);
int fy=find(e[i].y);
if(fx!=fy)
{
fa[fx]=fy;
cnt++;
}
if(cnt==n-1)
return;
}
}
Prim算法
void prim()
{
memset(f,0x3f,sizeof(f));
memset(v,0,sizeof(v));
f[1]=0;v[1]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int temp=1<<30,k;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(!v[j]&&f[j]<temp)
temp=f[j],k=j;
v[k]=1;
ans+=f[k];
for(int j=head[k];j;j=nxt[j])
{
int y=to[j];
if(val[j] && !v[j] && f[j]>val[j])
f[j]=val[j];
}
}
}
常见问题及解决方法
1、多重生成树（例题：JDOJ 1044 Span、[HNOI2006]公路修建问题）
2、树的拆分（例题：VIJOS-P1234 口袋的天空）
3、加边成树问题（例题：[USACO07DEC]道路建设Building Roads）
三、并查集
常见问题及解决方法
1、并查集对环的处理
2、并查集维护对立性（例题：[BOI2003]团伙）
3、带权并查集（例题：[NOI2002]银河英雄传说）
4、种类并查集（例题：[NOI2001]食物链）
四、拓扑排序
模板：
void topsort()
{
while(!q.empty())
{
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int y=to[i];
if(y==fa[x])
continue;
out_degree[y]--;
if(!out_degree[y])
q.push(y);
}
}
}