【算法导论】雇佣问题

首先介绍一点数学知识。

事件 A 的指示器随机变量$I\{A\}$定义为：
$I\{A\} = \begin{cases} 1 \quad 如果A发生\\ 0 \quad 如果A不发生 \end{cases}$

指示器随机变量的期望为：
$E[I\{A\}] = Pr\{A\}$,其中$Pr\{A\}$为事件A发生的概率。

期望性质：期望的和等于和的期望，即若$X = \sum{X_i}$, 则$E[\sum{X_i}] = \sum{E[X_i]}$

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雇佣问题：输入长度为n的数组 A[0, …, n-1], 其元素数值代表每个人的能力。假定初始时助手的能力为0， 且每次遇到能力高于当前助手能力的人，便辞掉当前助手，并雇佣该人. 每次雇佣需要花费费用$c_h$，求总费用。

图示：假设 A = [2, 1, 3].

在上述例子中，一共雇佣了两次助手，花费为$2c_h$.

上述过程的代码如下：

int hire( vector<int>& A){
    int now_ability = 0;
    int cost = 0;
    for( auto it : A)
        if( it > now_ability){
            now_ability = it;
            cost++;
        }
    return cost;
}

在上述代码中我们并不关注时间复杂度，反而关注雇佣费用。

最坏情况下，即数组 A 按顺序递增时，花费最大，为数组所有元素的和。

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下面来关注雇佣问题中，雇佣一个新助理的期望。
假定应聘者已随机顺序出现，$X_i$对应第 i 人被雇佣，其指示器随机变量为：
$X_i = I\{第i位被雇佣\} = \begin{cases} 1 \quad 第i位被雇佣\\ 0 \quad 第i位未被雇佣 \end{cases}$

在源代码中，若第 i 个人被雇佣，则意味着第 i 人比第 1~n-1人都优秀。又假定应聘者随机出现，所以前i个应聘者也按照随机次序出现，因此被认为前 i 中任何一个人都是等可能是目前最优秀的人，因此$Pr[x_i] = \frac{1}{i}.$
又因$E[I\{A\}] = Pr\{A\}$, 因此$E[I\{X_i\}] = \frac{1}{i}$.
则令$X = \sum_{i=1}^{n}X_i$, 有
$E[I\{X\}] = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} = 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n}$
由调和级数的性质可知，上式结果为：
$E[I\{X\}] = lnn + O(1)$

即，面试了 n 个应聘者，平均意义上也只雇佣了$lnn$个人。

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来源：https://blog.csdn.net/sd4567855/article/details/98884421