最小二乘法

首先需要理解基于最小二乘法求解参数 其中涉及到了 损失函数，最大似然估计等内容， 损失函数为 需要做的便是求出该值得最小值，对该损失函数求导，求出倒数为零时即为损失函数最小值，经过一系列计算后得到的结果就是（需要注意的是，由于下面的计算方法需要X为可逆的，这边需要自变量间不能存在多重共线性） 所以用python实现最小二乘法估计的方法如下所示 # 引入所需要的全部包 from sklearn.model_selection import train_test_split import numpy as np import matplotlib as mpl import matplotlib.pyplot as plt import pandas as pd from pandas import DataFrame ### 设置字符集，防止中文乱码 mpl.rcParams['font.sans-serif']=[u'simHei'] mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=False #导入数据集，看看数据的形式 path1='datas/household_power_consumption_1000.txt' df = pd.read_csv(path1, sep=';', low_memory=False)#没有混合类型的时候可以通过low

中心极限定理是指随着样本容量n的增加，样本的均值抽样分布的形态也随之发生变化，将越来越 接近于正态分布。通常将样本容量n大于30的样本称为大样本，大样本组成的均值抽样分布可以被 认为是服从正态分布的。 参数估计有两种方法：点估计和区间估计，区间估计包含了点估计。二者的相同点都是基于一个样本作出；不同点是点估计只提供 单一 的估计值，而区间估计在点估计的基础上还提供了一个 误差界限 ，给出了取值范围——这个取值范围又叫置信区间（confidence interval），受置信度（一个概率值，即进行估计前必须事先确定的估计的把握度）影响，根据中心极限定理推导得来。 我们可以通过中心极限定理来 倒推 参数估计方法，整个倒推的思路是这样的： 区间估计实际上是抽一个样本，然后用这个样本的统计量来估计总体参数。比如想知道全校同学的每天平均学习时间（参数），就通过随机抽样找了100个同学作为样本，然后用这100个同学的平均学习时间（统计量），比如说2小时，并加减一个误差比如说半小时（关于这个误差的大小怎么定有空再说）来得到一个估计的范围。 但从一个总体可以抽许许多多样本，从全校10000名学生可以抽取到许许多多100位同学的组合，凭啥只相信一次抽样的结果？光凭一次抽样、并且只有100个同学来估计10000个同学到底靠不靠谱？ 所以，在最终只用一个样本来估计总体前

目录 最小二乘法概述 MATLAB源代码展示 应用结果展示 更新日志 1、最小二乘法概述 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。 2、MATLAB源代码展示 % x : 自变量；y：因变量；n：拟合曲线的方程的阶数；m：自变量的数量 function lstsqu ( x , y , n , m ) ; xx = x ; % 最小二乘法拟合曲线 p = polyfit ( xx , y , n ) ; x1 = xx ( 1 ) : 0.1 : xx ( m ) + 0.1 ; y1 = polyval ( p , x1 ) ; plot ( xx , y , '*r' , x1 , y1 , '-b' , 'Color' , [ 1 , 0 , 0 ] ) ; grid on ; xlabel ( 'x' ) ; ylabel ( 'y' ) ; title ( '最小二乘法拟合曲线' ) ; % plot函数直接绘制曲线 figure ; plot ( xx , y , 'Color' , [ 0 , 0 , 1 ] ) ; grid

主要内容： 什么是最小二乘 最小二乘的几何意义 正交投影矩阵 什么是最小二乘？ 假设我们手上有n组成对的数据，{(xi,yi):i=1…n}，为了探究y变量与x变量的关系，我们希望用一个多项式来匹配它，可是多项式中的系数怎么确定呢？拿来拼凑肯定是不行的，最小二乘法告诉我们，这个多项式的系数应该让每个点的误差的平方之和最小。 （百度百科） 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。 最小二乘的几何意义 最小二乘的几何意义：最小二乘法中的几何意义是高维空间中的一个向量在低维子空间的投影。 从上面的定义中，我们很难想象到最小二乘的几何意义，那么我们通过一个简单的例子来推导一下： 我们根据定义中的误差平方之和最小化来拟合直线： 每个点的误差表示： 最小误差的平方和： 要求解上面的最小化问题，我们可以通过求导的方式得到，最好是转化为矩阵表达形式：AX=b (这里x表示上述的系数a) 求得结果为： 如果通过超定方程的解法 ，很容易就可以得到上面结果。 先来说说向量表达形式： 小括号中表示：它是两个向量 [1, ... , 1]T 和 [x1, ... ,

芒果树a的圆心拟合 1.1 数据：树木主干数据-芒果树a 图1 芒果树a点云情况 1.2 大致思路： 该点云数据是空间中的离散点，在三维坐标中，构成一个圆柱，由于树干处于垂直树立状态，因此从已知点云坐标入手，圆柱在不同高度的各个圆的圆心可以视为x坐标与y坐标相同，根据各点云坐标求出该圆柱的圆心坐标。 1.3 实现原理： 平均值法： 首先考虑在三维空间中处于立体状态下对于均匀分布在圆柱上的n个点（Xi,Yi），从理论上讲，圆心的X坐标应为Xi的平均值，同样圆心的Y坐标应为Yi的平均值，圆心到圆上任一点的距离即为圆的半径。 在实际情况中，点云各点不可能正好均匀分布在圆上，甚至有些点还不在圆上，但只要各离散点分布较为均匀，仍可将均值作为圆心坐标，圆心到各离散点的距离的平均值可作为圆半径的近似值。 加权平均法： 考虑到一般情况下点云数据点不可能分布很均匀，用求平均值法求得的圆心位置会偏向数据点密集的一边，求出的半径也会偏小。要克服这种方法的不足，在求圆心坐标和半径大小时，可采用加权平均法。其基本思想是：设L为所有相邻两点之间的弧长之和，点（Xi,Yi）与相邻两点之间的弧长之和为li，在计算圆心坐标和半径大小时，该点和该点到圆心距离的权数为li/(2 l)。 则 圆 心 坐 标 为（Xi li/(2 l)，Yi li/(2*l)）。在圆心和半径还没确定的情况下，相邻两点之间的弧长无法确定

最小二乘、加权最小二乘（WLS）、迭代加权最小二乘（迭代重加全最小二乘）（IRLS） 最小二乘： 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。 X = [ x 11 x 12 . . . x 21 x 22 . . . x 31 x 32 . . . . . . . . . x m n ] X=\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & ... \\ x_{21} & x_{22} & ... \\ x_{31} & x_{32} & ... \\ ... & ... & x_{mn} \end{bmatrix} X = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ​ x 1 1 ​ x 2 1 ​ x 3 1 ​ . . . ​ x 1 2 ​ x 2 2 ​ x 3 2 ​ . . . ​ . . . . . . . . . x m n ​ ​ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ​ Y = [ y 1 . . . y m ] Y=\begin{bmatrix} y_{1}\\ ...\\ y_{m} \end{bmatrix} Y = ⎣ ⎡ ​ y 1 ​ . . . y m ​ ​ ⎦ ⎤ ​ θ = [ θ 1 . . .

一、直线和圆拟合概述 直线和圆的拟合，是视觉项目中非常常见的需求，但是对新手来说，在Halcon中实现却比较困难。 其基本思路都是： ① 分割出边缘，得到XLD（gen_contours_skeleton_xld、edges_sub_pix等） ② 将XLD进行分割、筛选（segment_contours_xld、select_contours_xld） ③ 将XLD进行拟合（fit_line_contour_xld、fit_circle_contour_xld等） 直线的拟合参考： https://www.cnblogs.com/xh6300/p/9782132.html 虽然思路比较固定，但是算子组合、调参还是需要相当的技巧，并且很多时候效果都不尽如人意。 如果有用过康耐视的VisionPro的话，你会发现里面的抓圆、抓边操作非常简单。只需要用卡尺去拟合，然后简单设置参数即可。 二、Halcon测量助手 实际上，Halcon是非常强大的，只是有时候没有那么方便而已。但是已经有大神封装了抓圆和抓边的工具函数。其基本原理主要参考Halcon自带的“测量助手”： 它涉及的主要算子如下，大家有时间可以自己研究一下： gen_measure_rectangle2、gen_measure_arc（gen_measure_arc.hdev） measure_pos

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。 背景：我们有一系列的点（x,y），如下图所示，实际上这就是一个y=10*x的一元一次曲线，再加上一个随机误差得到的数据。 我们想用一个线性方程来拟合它y=a*x+b 为了达到最好的拟合效果，我们应该让 最小。（y是原始值）。 对上式求导 对上式稍微整理以下，使用克莱姆法则，得 矩阵的表达形式 如果我们推广到更一般的情况，假如有更多的模型变量x^1, x^2,…, x^n（注意：x^1是指一个样本，x_1是指样本里的一个模型相关的变量)，可以用线性函数表示如下： 对于n个样本来说，可以用如下线性方程组表示： 注意事项 经典的最小二乘法使用起来够简单粗暴，计算过程也不复杂。但是一个致命的问题就是其对噪声的容忍度很低。试想一下，如果前面我们得到的总采样数据为100个，但是里面有几个误差比较大的数据，这就是噪声了。如果不采取一些手段对这几个噪声样本进行处理，最后拟合的效果肯定不是很好。 对于噪声的处理，比如有加权最小二乘等方法，后续有时间跟大家再讲讲 我们加入更大一点的噪声，发现这时候拟合的效果就不是很好

09 线性回归及矩阵运算 线性回归 定义：通过一个或者多个自变量与因变量之间进行建模的回归分析。其中可以为一个或者多个自变量之间的线性组合。 一元线性回归：涉及到的变量只有一个 多元线性回归：变量两个或以上 通用公式：h(w) = w0 + w1x1 + w2x2 + ....= wTx 其中w,x 为矩阵：wT=(w0, w1, w2) x=（1，x1, x2)T 回归的应用场景 （连续型数据） 房价预测 销售额预测 （广告，研发成本，规模等因素） 贷款额度 线性关系模型 定义： 通过属性 (特征) 的线性组合来进行预测的函数： f(x) = w1x1 + w2x2 + w3x3 + ...... + wdxd + b w : weight (权重） b: bias (偏置项） 多个特征： (w1:房子的面积， w2:房子的位置 ..) 损失函数（误差） 《统计学习方法》 - 算法 ，策略， 优化 线性回归， 最小二乘法，正规方程 & 梯度下降 损失函数（误差大小） yi 为第i个训练样本的真实值 hw(xi)为第i个训练样本特征值组合预测函数 （预测值） 寻找最优化的w 最小二乘法之 正规方程 （直接求解到最小值，特征复杂时可能没办法求解） 求解：w= (xTx）-1 xTy X 为特征值矩阵，y为目标值矩阵 缺点: 特征过于复杂时，求解速度慢 最小二乘法之 梯度下降 使用场景

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。 本文链接：https://blog.csdn.net/MarsJohn/article/details/54911788 在数据的统计分析中，数据之间即变量x与Y之间的相关性研究非常重要，通过在直角坐标系中做散点图的方式我们会发现很多统计数据近似一条直线，它们之间或者正相关或者负相关。虽然这些数据是离散的，不是连续的，我们无法得到一个确定的描述这种相关性的函数方程，但既然在直角坐标系中数据分布接近一条直线，那么我们就可以通过画直线的方式得到一个近似的描述这种关系的直线方程。当然，从前面的描述中不难看出，所有数据都分布在一条直线附近，因此这样的直线可以画出很多条，而我们希望找出其中的一条，能够最好地反映变量之间的关系。换言之，我们要找出一条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点，设此直线方程为： 这里的是为了区分Y的实际值y（这里的实际值就是统计数据的真实值，我们称之为观察值），当x取值(i=1，2，3……n)时，Y的观察值为，近似值为（或者说对应的纵坐标是）。 其中式叫做Y对x的回归直线方程，b叫做回归系数。要想确定回归直线方程，我们只需确定a与回归系数b即可。 设x，Y的一组观察值为： i = 1，2，3……n 其回归直线方程为： 当x取值(i=1，2，3……n)时