中值定理

书接上文，本文章是该系列的第二篇，按照总纲中给出的框架，本节介绍三个中值定理，包括它们的证明及几何意义。这三个中值定理是高等数学中非常基础的部分，如果读者对于高数的内容已经非常了解，大可跳过此部分。当然如果你需要对傅里叶变换有一个更深刻的认识，或者说从数学角度一点一滴完全搞懂它，为了体系的完整性，这部分知识还是必须的。 上篇文章链接地址： 完全搞懂傅里叶变换和小波（1）——总纲 http://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/10931621 由于公式较多，这里只能贴图啦。 最近在同时连载两个系列的文章（另外一个系列是关于KAZE特征匹配的），所以更新稍有些慢，请见谅。 未完，待续.... 来源： https://www.cnblogs.com/pangblog/p/3323127.html

洛必达法则的 理解 \[\frac{0}{0}型 \] 准备：构造关键函数 即定义 \(u(x)\big(f(x), g(x)\big)\) \(u\) 这个函数 \(x=a\) 处导数可求 \(\frac{f'(a)}{g'(a)}\) 原点线斜率为 \(\frac{f(x)}{g(x)}\) 待建立的相等关系是： \[\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\xlongequal{割线的极限是切线}u'(x_0)=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}\xlongequal{利用u'在x=x_0的连续性}\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \] 对于 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型，不便用这样的方法解决。 极、最值点、驻点需要考虑点集之间的关系 极值点与最值点 （极值点）：开区间内部导数为零的点和不可导点 （最值点）：（极值点）+闭区间端点 极值点与驻点 可导函数的极值点都是驻点。但如果没有给该点可导，则极值点不一定是驻点。 驻点左右单调性可以相同，所以不一定是极值点。 导数应用小专题 求极值点和拐点、求渐近线 见part 3 方程求根 零点定理；如果不能用就用 罗尔定理 零点定理结合单调性可以确定方程根的个数 不等式的证明 高中构造函数，利用单调性

本文始发于个人公众号： TechFlow ，原创不易，求个关注 今天和大家回顾一下高数当中的微分中值定理，据说是很多高数公式的基础。由于本人才疏学浅，所以对于这点没有太深的认识。但是提出中值定理的几个数学家倒是如雷贯耳，前段时间抽空研究了一下，发现很有意思，完全没有想象中那么枯燥。所以今天的文章和大家聊聊这个话题，我会跳过一些无关紧要或者意义不大的证明部分，尽量讲得浅显有趣一些。 费马引理 首先上场的是费马引理，它是我们介绍后面罗尔中值定理的前提。这个费马引理非常简单，不需要太多篇幅。所以在介绍它之前，先来讲讲费马这个人。 费马在数学届大名鼎鼎，他最著名的理论是费马大小定理。定理的内容我不讲了，和这篇文章也没啥关系。但是这背后有一段著名的故事，说是费马在提出费马大定理的时候并没有觉得它有多么出彩，因此没有加以详细的证明。有一天他在翻阅自己笔记本的时候突然灵感迸发想出了一个绝妙的证明方法。但是由于笔记本旁边空白的区域太小，所以费马这人就在书页边写了一句话，他说： 我已发现一种绝妙的证明方法，可惜这里空间太小，写不下。 没想到费马不当回事的定理在日后的数学界非常重要，出人意料的是无数数学家尝试证明费马大定理的正确性，但是都没有成功。虽然这个定理广泛使用，大家也都觉得应该是正确的，但是就是没有人能证明。这一度也称为数学界的顶级难题，一直到1995年，据说也是靠着计算机提供了算力支撑

今天看高数的微分中值定理，前两个中值定理到还是看的很简单，但是到了第三的柯西中值定理的时候，有了一些疑惑，我一直想研究它的几何意义，可惜课本并没有画出来，按照课本的意思柯西中值定理就是拉格朗日中值定理的参数方程形式，我头铁的想直接用两个拉格朗日中值定理的表达式凑出柯西中值定理表达式，结果却发现两个ξ可能不是同一个，后来发现了这样一篇文章，通过画图，利用一些物理现象来解释微分中值定理，尤其是哪个二维空间运动的图形用于解释柯西中值定理真的是太形象了。 转载自 https://zhuanlan.zhihu.com/p/47436090 微分中值定理是很重要的基础定理，很多定理都是以它为基础进行证明的。 1 罗尔中值定理 1.1 直觉 这是往返跑： 可以认为他从 点出发，经过一段时间又回到了 点，画成 （位移-时间）图就是： 根据常识，因为要回到起点，中间必定有速度为0的点： 拳击比赛中，步伐复杂： 但不论怎样，只要最后回到起点，中间必定有速度为0的点： 这就是罗尔中值定理。 1.2 罗尔中值定理 设函数满足以下三个条件： 在闭区间 上连续 在开区间 上可导 则存在 ，使得 在闭区间 连续是必须的，否则有可能没有 ： 在开区间 可导也是必须的： 1.3 拓展 可能有的同学觉得，定理中的条件“ 在闭区间 连续、在 可导”比较古怪，为什么不是“ 在闭区间 连续、在 可导”？ 大概有两个原因

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