希尔伯特空间

想要理解数学空间和希尔伯特空间，我们的思路是： 现代数学——>集合——>线性空间（向量空间）及基的概念——>赋范空间——>內积空间——>希尔伯特空间 于是，我们想要理解希尔伯特空间，首先需要从距离开始，然后说说线性空间，到范数空间，再到內积空间，最后一直到欧式空间，希尔伯特空间和巴拿赫空间。 现代数学最大的特点就是以集合为研究对象，将不同问题的本质抽取出来，变成同一类问题。而集合分为两种：有线性结构的集合（线性空间/向量空间）；以及有度量结构的集合（度量空间）。要说欧式空间和希尔伯特空间，则主要说线性空间。线性空间则需要从基的概念、及距离说起，再到內积空间和希尔伯特空间： （1）基：线性空间主要是研究集合的描述，为了将集合描述清楚，则引入和基的概念，相当于引入了三维空间。所以要描述线性空间只需要知道基即可，而要知道线性空间中的元素，则只需要知道基及对应的坐标即可。 （2）距离：但即使是引入了基的概念，也只能认为元素是三维空间的一个线段，没有长度。为了量化元素，于是引入范数的概念，用于给元素赋予特殊的“长度”。此时被赋予了范数的线性空间（向量空间）就是赋范线性空间。 （3）內积空间：到了赋范线性空间，元素有了长度但没有角度。为了解决这个问题。于是引入了內积的概念，进行了內积运算的线性赋范空间则是內积空间。 函数的內积： 1）条件：对称性；第一元的线性性质（即<ax,y>=a<x,y>