微分流形

作者 | 何通木 来源 | 知乎 大家好，我是来自清华大学数学系的准大四学生何通木。学了三年现代数学，我想把自己的一些感悟记录下来。回头看这三年，觉得走了很多弯路、做了很多意义不大的事情，想来是跟学长、老师们的深层次沟通少了，所以想用剖析自己的经历、优缺点的方式，向大家展示一个天分普通的学生的本科学习历程，希望后来人能够更好地利用这三年时间。 对于不想从头看到尾的同学，可以根据目录挑选想看的部分，也可以只看第八节：修习顺序建议。以下观点仅为个人观点，欢迎大家讨论！ 目录 一、指导思想 二、最基本的语言：数分、线代、抽代、拓扑、流形 三、启发性的直观：黎曼曲面、微分拓扑、微分几何 四、大一统的理论：代数拓扑、代数几何 五、辅助性的工具：同调代数、交换代数 六、数学的皇后：代数数论 七、准备丘赛 八、修习顺序建议 九、附录：课程大纲 一、指导思想：广度优先 为什么我是大三结束的时候来写这篇建议呢，因为到了大四大家已经要开始准备自己那一个小方向的毕业论文了，前三年才是基础数学的基础性学习阶段。老师们都说，在本科时候要多学点东西；丘成桐先生也经常说，数学家至少要精通两个方向，才有可能发现不同方向的联系，才能做出大成就。“发现不同学科的联系”是我逐渐领悟到的努力目标，其本质是更好地理解数学，同时也是把冗余的东西缩并起来，化归到自己原有的知识体系中。 所以这篇建议的（来源于我的）局限性在于

为什么要深入数学的世界 作为计算机的学生，我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的，是要 想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来，我在刚来这个学校的时候，并没有预料到我将会有一个深入数学的旅 程。我的导师最初希望我去做的题目，是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上，使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework，在近年的论文中并不少见。 我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具，但是，我认为它不是panacea，并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病，那么很多 “下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上，开始的时候，我也是和Vision中很多人一样，想着去做一个Graphical Model——我的导师指出，这样的做法只是重复一些标准的流程，并没有很大的价值。经过很长时间的反复，另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信，一个 图像是通过大量“原子”的某种空间分布构成的，原子群的运动形成了动态的可视过程。微观意义下的单个原子运动，和宏观意义下的整体分布的变换存在着深刻的 联系——这需要我们去发掘。 在深入探索这个题目的过程中

以下资料来自 Dahua 的博客，非常可惜后来该博客关闭了。 在过去的一年中，我一直在数学的海洋中游荡，research进展不多，对于数学世界的阅历算是有了一些长进。 为什么要深入数学的世界 作为计算机的学生，我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的，是要想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来，我在刚来这个学校的时候，并没有预料到我将会有一个深入数学的旅程。我的导师最初希望我去做的题目，是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上，使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework，在近年的论文中并不少见。 我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具，但是，我认为它不是panacea，并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病，那么很多“下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上，开始的时候，我也是和Vision中很多人一样，想着去做一个Graphical Model——我的导师指出，这样的做法只是重复一些标准的流程，并没有很大的价值。经过很长时间的反复，另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信，一个图像是通过大量“原子