网络流

poj_3281Dining（网络流+拆点） 标签： 网络流 题目链接 题意： 一头牛只吃特定的几种食物和特定的几种饮料，John手里每种食物和饮料都只有一个，问最多能够满足几头牛的需求(水和食物都必须和他们的胃口)。 题解： 网络流 建图：从源点向每个食物连一条边，容量为1， 将牛拆成两个点牛，牛'，中间连边，容量为1 从食物向牛连边，容量为1 连牛'和饮料，容量为1 连饮料和汇点，容量为1 网络流三种算法的理解和代码实现以及相应的模板 先介绍一个定理： 最大流最小割定理： 割：去掉某几条边使得源点和汇点不再联通，那么这几条边就叫一个割，这几条边的边权和最小的就叫做最小割。 一个图的最大流就是这个图对应的最小割，可以看做是一个沙漏，最大流是要求这个沙漏每个时刻最大的流量，那就相当于是求沙漏最细的地方的流量。而最小割就相当于是用一个刀子将这个沙漏一分为二，然后找横截切面最小的就是这个沙漏最细的地方。 再介绍一些网络流的一些基本性质 流网络G的流（flow）是一个实值函数 f ：V ×V → R，且满足下列三个性质 (1) 容量限制：对于∀u,v∈V ，要求 f (u,v) ≤ c(u,v)。 (2) 反对称性：对于∀u,v∈V ，要求 f (u,v) = −f (v,u)。 (3) 流守恒性：对于∀u,v∈V −{s,t}，要求∑f (u,v) =0。 f(u,v)即为u到v的流

转自 此文虽为转载，但博主的网络流就是从这开始的，认为写的不错 网络流基本概念 什么是网络流 在一个有向图上选择一个 源点 ，一个 汇点 ，每一条边上都有一个流量上限（以下称为 容量 ），即经过这条边的流量不能超过这个上界，同时，除源点和汇点外，所有点的入流和出流都 相等 ，而源点只有流出的流，汇点只有汇入的流。这样的图叫做 网络流 。 所谓网络或容量网络指的是一个连通的赋权有向图 D= （V、E、C） ， 其中V 是该图的顶点集，E是有向边(即弧)集，C是弧上的容量。此外顶点集中包括一个起点和一个终点。网络上的流就是由起点流向终点的可行流，这是定义在网络上的非负函数，它一方面受到容量的限制，另一方面除去起点和终点以外，在所有中途点要求保持流入量和流出量是平衡的。（引自百度百科） 定义 我们定义： 源点：只有流出去的点 汇点：只有流进来的点 流量：一条边上流过的流量 容量：一条边上可供流过的最大流量 残量：一条边上的容量-流量 几个基本性质 基本性质一： 对于任何一条流，总有流量<=容量 这是很显然的 基本性质二 对于任何一个不是源点或汇点的点u，总有 ∑ p ∈ E k [ p ] [ u ] == ∑ q ∈ E k [ u ] [ q ] （ 其 中 k[i][j] 表 示 i 到 j 的 流 量 ） 这个也很显然，即一个点（除源点和汇点）的入流和出流相等 基本性质三

Dinic算法（研究总结，网络流） 网络流是信息学竞赛中的常见类型，笔者刚学习了最大流Dinic算法，简单记录一下 网络流基本概念 什么是网络流 在一个有向图上选择一个 源点 ，一个 汇点 ，每一条边上都有一个流量上限（以下称为 容量 ），即经过这条边的流量不能超过这个上界，同时，除源点和汇点外，所有点的入流和出流都 相等 ，而源点只有流出的流，汇点只有汇入的流。这样的图叫做 网络流 。 所谓网络或容量网络指的是一个连通的赋权有向图 D= （V、E、C） ， 其中V 是该图的顶点集，E是有向边(即弧)集，C是弧上的容量。此外顶点集中包括一个起点和一个终点。网络上的流就是由起点流向终点的可行流，这是定义在网络上的非负函数，它一方面受到容量的限制，另一方面除去起点和终点以外，在所有中途点要求保持流入量和流出量是平衡的。（引自百度百科） 定义 我们定义： 源点：只有流出去的点 汇点：只有流进来的点 流量：一条边上流过的流量 容量：一条边上可供流过的最大流量 残量：一条边上的容量-流量 几个基本性质 基本性质一： 对于任何一条流，总有流量<=容量 这是很显然的 基本性质二 对于任何一个不是源点或汇点的点u，总有 ∑ p ∈ E k [ p ] [ u ] == ∑ q ∈ E k [ u ] [ q ] （其中k[i][j]表示i到j的流量） ∑p∈Ek[p][u]==∑q∈Ek[u][q

题目描述 　　有n件工作要分配给n（n<=100）个人做。第i个人做第 j件工作产生的效益为cij。试设计一个将n件工作分配给n个人做的分配方案，使产生的总效益最大。对于给定的n件工作和 n个人，计算最优分配方案和最差分配方案。 题目大意 　　见题目描述 A.A 数据范围 　　见题目描述 A.A 样例输入 5 2 2 2 1 2 2 3 1 2 4 2 0 1 1 1 2 3 4 3 3 3 2 1 2 1 样例输出 5 14 解题思路 　　S点向人连边，权值为1，费用为0，人向物品连边，权值为1，费用为Cij，物品向T连边，权值为1，费用为0。 　　最小效益则为最小费用流，最大收益为最大费用流（关于最大费用流的问题，我是将费用取反，最后的答案也取反，当然也可以SPFA求最长路）。 代码 #include <algorithm> #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <cstdio> #include <cmath> #include <queue> #define Maxn 23333 #define Maxe 23333 using namespace std; inline int Getint(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while('0'

题意：网络流模板题，求1到n的最大流，直接写模板。 代码： #include <cstdio> #include <algorithm> #include <queue> #include <cstring> #define N 30 #define INF 1000000 using namespace std ; int Map [ N ][ N ], path [ N ], t , n , m ; bool bfs ( int s , int t ){ memset ( path ,- 1 , sizeof ( path )); queue < int > q ; int p ; path [ s ]= s ; q . push ( s ); while (! q . empty ()){ p = q . front (); q . pop (); for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++){ if ( Map [ p ][ i ]> 0 && path [ i ]==- 1 ){ path [ i ]= p ; if ( i == t ) return true ; q . push ( i ); } } } return false ; } int Ek ( int s , int t ){ int flow = 0 , d ; while (

【网络流24题】汽车加油行驶 Description 给定一个N * N 的方形网格，设其左上角为起点◎，坐标为（1，1），X 轴向右为正，Y轴向下为正，每个方格边长为1，如图所示。一辆汽车从起点◎出发驶向右下角终点▲，其坐标为（N，N）。在若干个网格交叉点处，设置了油库，可供汽车在行驶途中加油。汽车在 行驶过程中应遵守如下规则： (1)汽车只能沿网格边行驶，装满油后能行驶K 条网格边。出发时汽车已装满油，在起点与终点处不设油库。 (2)汽车经过一条网格边时，若其X 坐标或Y 坐标减小，则应付费用B，否则免付费用。 (3)汽车在行驶过程中遇油库则应加满油并付加油费用A。 (4)在需要时可在网格点处增设油库，并付增设油库费用C（不含加油费用A）。 (5)(1)～(4)中的各数N、K、A、B、C均为正整数，且满足约束：2 £ N £ 100，2 £ K £ 10。 设计一个算法，求出汽车从起点出发到达终点的一条所付费用最少的行驶路线。 Input 第一行是N，K，A，B，C的值。 第二行起是一个N * N 的0-1 方阵，每行N 个值，至N+1 行结束。方阵的第i 行第j 列处的值为1 表示在网格交叉点（i，j）处设置了一个油库，为0 时表示未设油库。各行相邻两个数以空格分隔。 Output 最小费用 Sample Input 9 3 2 3 6 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

方格取数问题（luogu） Solution 可以利用网络流对“斥”的求解 先假设所有点都选，不选某些点可以使选择的方案合法，求出这些不选的点的价值总和的最小值 最小值联想到最小割 根据（横坐标+纵坐标）的奇偶性将图分成两部分 在不能同时选的点间连边（方向偶-奇），由于“割”时不能割掉点之间不能同时选的关系，所以它的流量应为正无穷 再从起点向偶部的每个点连一条流量为这个点的价值的边，从奇部的每个点向终点连一条流量为这个点的价值的边， 表示不选它失去的价值 跑最大流(即最小割) Code #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <queue> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; const int N=1e4+10,M=1e5; int head[N],nxt[M],ver[M],edge[M],tot=1; int s,t,n,m,d[N],x,maxflow,flow,sum,inf=1<<30; int id(int x,int y) { return (x-1)*m+y; } void add(int u,int v,int w) { ver[++tot]=v,nxt[tot]=head[u],edge[tot]=w,head[u]=tot

题链： http://hihocoder.com/problemset/problem/1394 题解： 有向图最小路径覆盖：最少的路径条数不重不漏的覆盖所有点。 注意到在任意一个最小路径覆盖的方案下， 每条路径的起点的入度为 0，终点的出度为 0，而中间的点的入度和出度以及起点的出度和终点的入度都为 1 那么把每个点拆为两个： u 和 u'，分别代表其 出点 和 入点 然后对于 边 u->v， 在 u 和 v' 之间建立双向边。 那么形成二分图。 二分图匹配后，某条匹配边上的起点的出度 +1，终点的入度 +1， 那么没有被匹配到的 u'则是某条路径的起点（即没有入度）， 那么没有被匹配到的 u 则是某条路径的终点（即没有出度）， 正好二分图最大匹配后，没有被匹配的u'（或u）的个数是最少的，则表明路径是最少的（起点或终点是最少的）。 又因为 没有被匹配的 u'的数量 == 点数N - 匹配数 所以，有向图最小路径覆盖 =点数 -二分图最大匹配数 （更加详细的图文讲解，非常不错的 http://blog.csdn.net/tramp_1/article/details/52742572） 二分图匹配可以用匈牙利，也可以用最大流来做。 代码： #include<queue> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream>

分配问题 时空限制 1000ms / 256MB 题目描述 有 n 件工作要分配给 n 个人做。第 i 个人做第 j 件工作产生的效益为 c[i][j] 。试设计一个将 n 件工作分配给 n 个人做的分配方案，使产生的总效益最大。 输入输出格式 输入格式： 文件的第 1 行有 1 个正整数 n ，表示有 n 件工作要分配给 n 个人做。 接下来的 n 行中，每行有 n 个整数 c ​​，表示第 i 个人做第 j 件工作产生的效益为 c[i][j] ​ 。 输出格式： 两行分别输出最小总效益和最大总效益。 输入输出样例 输入样例： 5 2 2 2 1 2 2 3 1 2 4 2 0 1 1 1 2 3 4 3 3 3 2 1 2 1 输出样例： 5 14 说明 1 ≤ n ≤ 1 0 0 一个人只能做一个工作 二分图多重最优匹配。 感觉就是费用流，只不过知道模型容易建图了一些。 #include<bits/stdc++.h> #define N 505 #define INF LLONG_MAX/2 using namespace std; typedef struct { int u,v; long long flow,cost; }ss; ss edg[N*N]; vector<int>edges[N]; int now_edges=0; void addedge(int u

Libre 6012 「网络流 24 题」分配问题 （网络流，费用流） Description 有n件工作要分配给n个人做。第i个人做第j件工作产生的效益为 \(c_{ij}\) 。试设计一个将n件工作分配给n个人做的分配方案，使产生的总效益最大。 对于给定的n件工作和n个人，计算最优分配方案和最差分配方案。 Input 第1 行有1 个正整数n，表示有n件工作要分配给n 个人做。 接下来的n 行中，每行有n 个整数 \(c_{ij}\) ，1≤i≤n，1≤j≤n，表示第i 个人做第j件工作产生的效益为 \(c_{ij}\) 。 Output 将计算出的最小总效益和最大总效益输出 Sample Input 5 2 2 2 1 2 2 3 1 2 4 2 0 1 1 1 2 3 4 3 3 3 2 1 2 1 Sample Output 5 14 Http Libre: https://loj.ac/problem/6012 Source 网络流，费用流 解决思路 此题的网络流做法还是比较明显的。对于每一个人，从源点连边容量为1代价为0，而对于每一项工作，连到汇点容量为1，代价为0。对于每一个 \(c_{ij}\) ，连接人i和工作j，容量为1代价为 \(c_{ij}\) 。然后分别跑最小费用最大流和最大费用最大流即可。 代码 #include<iostream> #include