泰勒展开

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib as mpl import math #e^x = 1 + x + x^2/2!+... def calc_e_small(x): n = 10 #累乘 cumsum是求和 #1! 2! 3! 4! 5!...10! f = np.arange(1,n+1).cumprod() #x x^2 ... x^10 b = np.array([x]*n).cumprod() return 1+np.sum(b / f) ''' e^x = ln2 + (e^ln2)/1!*(x-ln2) + (e^ln2)/2!*(x-ln2)^2+... x = a*ln2 + b k<= z |b| <= 1/2ln2 a = ln( int( x/ln2 + 0.5 ) ) b = x-a*ln2 e^x = 2^a + e^b ''' def calc_e(x): reverse = False if x < 0:#处理负数 exp(-x) = 1/exp(x) x = -x reverse = True ln2 = 0.69314718055994530941723212145818 c = x/ln2 a = int(c+0.5) b = x-a*ln2

Taylor展开 在数学中泰勒展开可以把一个函数f(x)展开成关于某一点的导数(0次到N次)的函数,这样就可以近似计算一个函数,得到在某点及其附近信息的近似描述。 傅里叶变换 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、 光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用，例如在信号处理中，傅里叶变换的典 型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量，。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数，正弦和/或余弦函数，或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是， 一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加或从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但它确有固定的周期，或者说，给定一个周期我们就能画出整个区间上的分信号，那么给定一组周期值，或频率值，，我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样

一阶泰勒公式是什么意思这里的不是都展到了二阶吗？为什么说是一阶?几阶是怎么看的？ 回答： f'(xo)是准确值，f''(ξ)那一项是一阶泰勒的余项。所以说，还是展开到了一阶。 泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。 若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式： 其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。 扩展资料： 实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。 泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面： 1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。 2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。 3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。 4、证明不等式。 5、求待定式的极限。 来源： https://www.cnblogs.com/wisir/p/11810353.html

2020张宇1000题·数一·刷题记录 第一篇 高等数学 第1章 极限、连续 一、函数极限(1.1-1.46) 分母等价替换，分子泰勒展开到x²项，或对式子求两次导。 分母虽然是相减但是满足要求，可以直接用等价替换。分子两个函数都得泰勒展开到x³项，或对式子求三次导。答案的求导再拆分再求导太麻烦了。 (0-0)/0型，拆分分母变成两个极限相加，左边提取往e^x-1~x上靠，然后左右两遍都可以直接等价替换了。 方法一中的泰勒展开式，展开到第二项与第三项，结果算出来是不一样的。应该是分子无穷小的阶数要大于等于分母的阶数才行。 另一种方法，一次求导之后再拆分。 式子太复杂不可能用求导，而分子分母都是加减形式，所以要先判断分子分母情况，才能确定能否直接等价替换。 \({\begin{cases}{\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{(3+tanx)^x}{3^x}=\dfrac{1}{1}=1}&分子相减等于0。 \\{\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{3sin^2x}{x^3cos\dfrac{1}{x}}=\dfrac{3}{xcos\dfrac{1}{x}(0·有界)}=\infty \neq-1}&分母相加不等于0。 \end{cases}}\) 故分子相减不能用等价无穷小替换，换个思路，提取3的x次方，往e^x-1~x上靠。

# 2020张宇1000题·数一·刷题记录 ## 第一篇 高等数学 ### 第1章 极限、连续 #### 一、函数极限(1.1-1.46) 1. 分母等价替换，分子泰勒展开到x²项，或对式子求两次导。 2. 分母虽然是相减但是满足要求，可以直接用等价替换。分子两个函数都得泰勒展开到x³项，或对式子求三次导。答案的求导再拆分再求导太麻烦了。 3. (0-0)/0型，拆分分母变成两个极限相加，左边提取往e^x-1~x上靠，然后左右两遍都可以直接等价替换了。 4. 方法一中的泰勒展开式，展开到第二项与第三项，结果算出来是不一样的。应该是分子无穷小的阶数要大于等于分母的阶数才行。 5. 另一种方法，一次求导之后再拆分。 6. 式子太复杂不可能用求导，而分子分母都是加减形式，所以要先判断分子分母情况，才能确定能否直接等价替换。 ${\begin{cases}{\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{(3+tanx)^x}{3^x}=\dfrac{1}{1}=1}&分子相减等于0。 \\{\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{3sin^2x}{x^3cos\dfrac{1}{x}}=\dfrac{3}{xcos\dfrac{1}{x}(0·有界)}=\infty \neq-1}&分母相加不等于0。 \end{cases}}$ 故分子相减不能用等价无穷小替换

我们学习泰勒展开，本质上就是为了在 某个点附近 ，用多项式函数取 近似 其他函数。可能有些童鞋就要问了，既然有一个函数了，为什么还需要用多项式函数取进行近似，理由就是多项式函数具有非常多优良的性质。 比如说，多项式函数既好计算，也好求导，还好积分，等等一系列的优良性质。 好，本质已经说完了，下面给出P(x)在x=0处的泰勒展开表达式，然后再进行仔细分析。 上面的文字表述用下面的slides总结： 可以推出c0=1,在图上表示就是0处的两者函数值相同，都为1，如下： 既然泰勒展开的目的是在某处，两者的函数近似相同，那么我们不应该仅仅满足于函数值相同，我们让在x=0处的两者一阶导数相同，岂不更好! 这样我们得到了一个新的等式条件，如下： 那么我们很自然的就会想到是否还能够找到一个限制条件，构建一个等式，将c2 也求出来，因为c0,c1就是这么求出来的。 对的，就是这个思路，我们让两者在x=0处的二阶导数也相等，相当于再加强一个限制，你既然要近似，就要近似的越多越好~如下图 根据上面表达式很容易求出,c2=-1/2 于是我们得出，在x=0处，近似cosx的二次多项式表达式为： 那么到现在的解释和一开始给的泰勒展开式子，是否有了一定的感觉呢？ 我们其实在某处的泰勒展开，就是让两者的函数在该处的函数值相等，一阶导相等，二阶导相等，...n阶导相等（因为你要近似，当然是越接近越好