全微分

一个最简单的例子：f(x,y)=x+y 那么全微分df=dx+dy 因为这个f(x,y)对x和y都是线性的，所以df=dx+dy对大的x和y变化也成立。 将x和y方向分开看，x方向每增加dx=1（y不变），f(x,y)增加df=1；y方向每增加dy=1（x不变），f(x,y)也增加df=1； 如果x和y同时增加1（dx=1，dy=1），f(x,y)增加dx+dy=2。 对以上函数f(x,y)，当x和y按1:1变化时，f(x,y)增长最快。 如果换个函数，f(x,y)=2x+y，那么当x和y按2:1变化时，f(x,y)增长最快。 梯度表示f(x,y)增长最快的方向。与梯度相反的方向就是函数减小最快的方向。 反过来说，沿垂直于梯度方向，f(x,y)变化最小（即没有变化）。 于是，在<x0,y0>的梯度正交于过该点的等高线。 方向导数是说，对于方程z=f(x,y)，当<x,y>从<x0,y0>沿指定方向增加单位向量长度时，f(x,y)增加多少。 当指定方向与梯度不重合时，函数变化就没有沿梯度方向变化大。 来源： https://www.cnblogs.com/byeyear/p/3702553.html