期权定价

蒙特卡洛模拟法对欧式期权定价   对于标的资产价格为S 0 ，执行价格是X的欧式看涨期权，到期日T的价格为C T = max(0,S T -X)，在风险中性世界里用无风险利率r贴现，则期权在t时刻的价格为C T = e -r(T-t) E[max(0,S T -X)]，这也是BS公式的推导思路之一。由于C T 只与S T 有关，因此我们只需模拟S T 的路径，重复n次，再对他们求平均就可以得到看涨期权的价格，即C T = e -r(T-t) Σ[max(0,S T -X)] /n，同理看跌期权价格P T = e -r(T-t) Σ[max(0,X-S T )] /n。注意蒙特卡洛模拟不能给美式期权定价。   关于标的资产价格S T 的蒙特卡洛模拟，在 （二十三） 中已经介绍过，主要使用如下公式：   假设有一份期限为六个月的股票期权，标的资产股票价格为5.29元，期权执行价格为6元，年化无风险利率和年化波动率分别为4%和24%，用蒙特卡洛模拟法求看涨期权和看跌期权的价格（模拟1万次）。 import numpy as np from numpy . random import standard_normal def callMonteCarlo ( S , X , r , sigma , t , n ) : z = standard_normal ( n ) St = S * np

1 导论 衍生产品（ Derivative ） ：是指由某种更为基本的变量派生出来的产品。衍生产品的标的变量常常是某种交易资产的价格。 衍生产品市场的 规模 远远大于股票市场，目前尚未平仓的衍生产品的标的资产总价值是全世界经济总产值的许多倍。 在各种类型的 风险 在经济体各实体间转移的过程中，衍生产品扮演着非常关键的角色。 本书第一版出版于1988年。 1.1 交易所市场 Chicago Board of Trade, CBOT芝加哥期货 交易所 成立于1948年，最初的 主要职能 是将交易的谷物进行数量和质量 标准化 。 Chicago Mercantile Exchange, CME芝加哥商业交易所成立于1919年，两者已合并为CME集团（还包括：New York Mercantile Exchange, NYMEX; Commodity Exchange, COMEX; Kansas City Board of Trade, KCBT）。 CBOT于1973年开始交易股票看涨期权合约。 1盎司=28.35g 交易所逐渐替代 电子交易 (Rlectronic trading)替代 公开喊价系统 (open outcry system)。 电子交易促成了 高频交易 (high-frequncy trading)与 算法交易 (algorithmic trading)的发展。 1

期权投资者一般都知道，Black-Scholes期权定价模型的特点之一是允许非平坦的波动率曲面，这表示期权的隐含波动率不但取决于标的资产的历史波动率，而且取决于期权的行权价格（strike price）和距离到期时间（time to maturity）。期权交易最需要注意的一点是，隐含波动率可以视为对期权的定价（就像利率就是债券的实际价格一样），隐含波动率高的期权比波动率低的期权定价更高。 本文中，我们简单介绍股票指数的波动率曲面，但大部分情况下也适用于个股期权，尽管有时需要进行一些调整。 下图显示S&P500指数的波动率曲面与虚实程度（moneyness）和到期时间的关系。moneyness定义为K / S，其中K是期权的行权价格，S是标的资产当前价格。在这个例子里，100％的期权表示一个平值期权（ATM），90％的期权表示一个下行期权（downside option，通常是看跌期权put），而110％的期权表示一个上行期权（upside option，通常是看涨期权call）。 从上图中可以看到，这个例子中，波动率与行权价格相关。下行期权（put）比上行期权（call）的定价（隐含波动率）更高 ，原因可以包括： 1）下行价格变动通常比上行价格变动要大； 2）在海外市场，期权隐含波动率的变动和标的资产的变动通常是负相关的。 期权的期限结构概念（隐含波动率如何随时间变化