省选模拟16 题解
A. GCD和LCM 简单莫比乌斯反演。 因为有一个$a$的限制,我们离线询问,将询问按$a$排序。 随时更新要维护来统计答案的数组就可以了。 B. 平面图 给出了平面图,所以自然想到对偶图。 如果知道平面图上每个点所连的边的顺序,一个平面图转对偶图的方式是: 考虑给每条边开两个对偶图上的节点,分别表示这条边左右对应的对偶图节点。 对于一个点伸出的两条相邻的边,合并两个对偶图上节点,表示这两个节点实际上是一个节点。 然后就转完了。 可以发现,删去一条边后连通块数$+1$仅当这条边是割边。 而这条边是割边等价于这条边左右对应的对偶图节点是同一个点。 所以在删边的同时维护对偶图节点连通性即可。 还有一个问题是如何维护原图上的连通性。 使用启发式分裂为两个子图中较小的一个子图重新标号就可以了。 因为图的大小并不容易维护,一个很帅的方式是两个子图同时进行$bfs$。 其中小的一个$bfs$结束了,那么就可以认为这是一个较小的子图(注意这里的$bfs$应当是每次只进行一条边,保证复杂度是正确的)。 C. 路径 是一个很神仙的题,大致思路是。 可以发现答案是一个式子,形式为$ans=\frac{f(n+m)}{f(n)f(m)}$。 然后又发现$f(n)=\prod_{i=1}^n (q^i-1)$在$mod\ p$意义下是有$0$的。 所以用各种各样奇怪的化式子的方法把这样的$0$提出来