李代数

视觉SLAM14讲-第四讲笔记 优化问题 为什么使用李代数 ：实际SLAM中，相机位姿R,T未知，需要进行估计，估计的过程可以看做最小误差的优化问题。由于旋转矩阵和变换矩阵有约束（正交、det=1），难以优化。转换成李代数，可以从有约束优化问题转变为无约束优化问题。 对于相机位姿T，观察到世界坐标系上的点P，在噪声w下，得到观测数据z。 z=Tp+w 得到误差： e=z-Tp 对于n个点，要估计位姿T，即找到最优的T，似的误差∑e最小化。 minJ(T)=∑e=∑(z-Tp) J为T的函数，要优化，则要计算J关于T的导数。R、T是群，没有良好的定义加法，作为普通矩阵则有约束。转为李代数，则有良好定义的加法，无约束。 群 群：只对一种运算封闭。 封结幺逆 。 旋转矩阵和变换矩阵属于SO(3)和SE(3)群，它们对乘法封闭，对加法不封闭。 李群：在群基础上连续。 李代数 ^：向量——>反对称矩阵 ˇ：反对称矩阵——>向量 李代数的定义 每个李群都有与之对应的李代数，描述了李群的 局部性质 (导数关系，可以表达李群中矩阵的的导数）。 组成： 集合V 数域F 二元运算 李代数SO(3)_ 哥特体打不出，用SO(3)_代表李代数，SO(3)代表李群 SO(3)_：3*1的向量。记为φ。φ对应的反对称矩阵，记为Φ。 ** SO（3）中的元素是旋转矩阵R，旋转矩阵不一定是反对称矩阵

1. 群：集合加上一种运算的代数结构，具有封闭性，符合结合率，么元和可逆的特性 2. SO(3): 旋转矩阵群 3. SE(3): 变换矩阵群 4. 李群：连续光滑的群 5. 由于一个物体可以平滑地从一个姿态转动另一个姿态，所以SO(3)是李群 6. 由于一个物体可以平滑地从一个位置旋转平移到另一个位置，所以SE(3)也是李群 7. 李代数可以理解为是李群局部的倒数 9. 结论1：旋转矩阵的微分是一个反对称左乘它本身 10. 结论2：用旋转矩阵表示的是李群空间，用向量表示的是李代数空间 核心内容转自： http://www.sohu.com/a/270402234_100007727 此处总结主要用于方便自己查阅 来源： https://www.cnblogs.com/StevenWind/p/11343123.html

3、李代数求导与扰动模型 （1）BCH公式及近似形式 BCH公式展开式的前几项，其中[]为李括号： 考虑SO(3)上的李代数，且φ 1 或φ 2 为小量时，忽略小量二次以上的项，BCH线性近似为： 其中， 当一个旋转矩阵 R 2 （李代数为φ 2 ）左乘一个微小旋转矩阵J R 1 （李代数为φ 1 ）时，可以近似地看作，在原有的李代数φ 2 上，加上了一项 J l (φ 2 ) -1 φ 1 总结 ：SO(3)和SE(3)上的BCH近似公式，及李代数上的加法对应于李群上带左右雅可比的乘法。 （2）SO(3)李代数上的求导 重要意义：在实际SLAM过程中，经常会构建与位姿有关的函数，然后讨论该函数关于位姿的导数，以调整当前的估计值。 问题描述：假设某个时刻机器人的位姿为 T ，观察到一个世界坐标位于 p 的点，产生了一个观测数据 z ，则有： z = Tp + w ，其中 w 是观测噪声。 我们通常计算理想与实际数据间的误差： e = z - Tp ，假设有N个这样的路标点和观测， 则对机器人位姿的估计相当于找一个最优的 T**，使得整体误差最小化**： 问题解决：需要计算目标函数J关于变换矩阵 T 的导数 用李代数解决求导问题的思路有： 用李代数表示姿态，然后对根据李代数加法对李代数求导 对李群 左乘 或 右乘 微小扰动，然后对该扰动求导，称为左扰动和右扰动模型 具体推导