积化和差

一、求证： \(\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\) 证明：因为 \[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\] \[\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\] 将以上两式的左右两边分别相加，得 \[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta\] 即 \[\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\] 同理得到 \[\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]\] \[\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\] \[\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta