傅里叶分析

作 者：韩 昊 知 乎：Heinrich 微 博：@花生油工人 知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 ——更新于2014.6.6，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章———— 　　我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是 12 年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 　　这篇文章的核心思想就是： 　　 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 　　傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 　　————以上是定场诗———— 　　下面进入正题： 　

作 者：韩 昊 知 乎：Heinrich 微 博：@花生油工人 知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 ——更新于2014.6.6，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章———— 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ————以上是定场诗———— 下面进入正题： 抱歉，还是要啰嗦一句

主要内容： 1、傅里叶分析 2、香农采样定理 一、傅里叶变换 参考： 傅里叶分析之掐死教程 http://zhuanlan.zhihu.com/wille/19763358 二、香农采样定理 香农采样定理说，只要采样频率大于被采样信号最高频率的两倍，就能完全恢复。 链接：http://www.zhihu.com/question/24490634/answer/28430016 来源：知乎 Nyquist采样定理是连接连续和离散的桥梁 　　现实世界接触到的诸如电信号、光信号、声音信号等这些信号都是随时间连续变化的，称之为连续信号。但对于计算机来说，处理这些连续的信号显然是无能为力，要使计算机能够识别、计算、处理这些连续信号就必须将其转化为离散信号，将连续信号转换为离散信号的过程就叫采样。常用的mp3、数码照片、视频等都是经过了采样，才能应用于计算机上。 　　采样后，计算机得到的是离散的点，用这些离散的点来代替连续的线就势必会产生误差，那么这个误差是不是在容许的范围内，根据采样得到离散的点能不能还原出连续的信号？于是 采样定理1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用

作 者：韩 昊 知 乎：Heinrich 微 博：@花生油工人 知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 文章来源： https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了 . 目录 一、什么是频域 二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱 三、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱 四、傅里叶变换（Fourier Transformation） 五、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式 六、指数形式的傅里叶变换 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析 。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以

我们生活在时间的世界中，早上7:00起来吃早饭，8:00去挤地铁，9:00开始上班。。。以时间为参照就是时域分析。但是在频域中一切都是静止的！ 高频：变化剧烈的灰度分量，例如边界 低频：变化缓慢的灰度分量，例如一片大海 低通滤波器：只保留低频，会使得图像模糊 高通滤波器：只保留高频，会使得图像细节增强 opencv中主要就是cv2.dft()和cv2.idft()，输入图像需要先转换成np.float32 格式。 得到的结果中频率为0的部分会在左上角，通常要转换到中心位置，可以通过shift变换来实现。 cv2.dft()返回的结果是双通道的（实部，虚部），通常还需要转换成图像格式才能展示（0,255）。 相关函数如下 1 . cv2 . dft ( img , cv2 . DFT_COMPLEX_OUTPUT ) 进行傅里叶变化 参数说明 : img表示输入的图片， cv2 . DFT_COMPLEX_OUTPUT表示进行傅里叶变化的方法 2 . np . fft . fftshift ( img ) 将图像中的低频部分移动到图像的中心 参数说明：img表示输入的图片 3 . cv2 . magnitude ( x , y ) 将sqrt ( x ^ 2 + y ^ 2 ) 计算矩阵维度的平方根 参数说明：需要进行x和y平方的数 4. np . fft . ifftshift (

傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06 Heinrich 生娃学工打折腿 知乎日报收录 作 者：韩 昊 知 乎：Heinrich 微 博：@花生油工人 知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 ——更新于2014.6.6，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章———— 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻

引用： https://www.jianshu.com/p/f5a89d76eb28 上一篇中简单介绍了什么是傅里叶级数，最后得到了在周期为 的傅里叶级数的系数解，那么如何得到任意周期的傅里叶级数呢？ 我们先看在周期为 的函数傅里叶级数表达: 其对应的解为： 如何将其变为任意周期的函数呢？ 其实这里只需要简单的换元操作即可。 举个栗子: 其周期为 , 。我们令 ,则 ,整理下: 所以在对于t来说就变换成了周期为 的函数。 so对于周期为 （方便计算）的函数f(t) 只需令 带入原周期为 的函数即可： 同样的可以得到： 最后我们得到: 过程很简单，我就省略了，毕竟人生苦短。 2 傅里叶级数的复数形式 我们在写一下傅里叶级数的公式： 其中T代表函数的周期，也就是上面的2L，对应的解就是: 想要得到傅里叶级数的复数形式，需要先了解下欧拉公式。 关于欧拉公式，网上有很多的博客，这里就不细说了，只是简单说下欧拉公式的本质。 我们先看下公式： 可以看作是复平面上的一个向量，其到实轴的投影是 ，到虚轴的投影是 ，其中 便是向量与实轴的夹角。 image.png 而欧拉公式的直观理解就是在复平面上做圆周运动 欧拉公式.gif 随着 变化， 就变成圆周运动了。而前面的系数a则是圆的半径，当a=1的时候就是在单位圆上做圆周运动。 而且通过欧拉公式，我们可以得到三角函数的复数形式：

1， 什么是傅里叶级数 什么是级数？ 来自百度百科：级数是指将 数列 的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。级数理论是 分析学 的一个分支；它与另一个分支 微积分学 一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。 级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。举例就是: 这种由很多项相加的形式就是级数。 对于函数就是如下这个形式： 如何用级数表达一个周期函数 在工程中，我们经常会遇到各种各样的周期性的波形。这些波形很难找到一个函数去表达他，或者原函数无法很好的去分析波的特征。 image.png 所以我们需要找到一个函数 去近似原函数 ，而且这个 有很好的特性，方便去做分析。 法国数学家傅里叶就发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。 看一个动图来理解下这句话。 Fourier_series_square_wave_circles_animation 右边的波形就是由左边几个基础波形(三角函数)合成的。 下面给出傅里叶级数的数学公式。 原函数 就由无数个 组成的。这个公式理解起来也很简单， 是个常数项，因为正弦和余弦函数都是在0点位置上下波动，想要让其脱离0点，就必须加入 这个偏移项，当然你也可以理解为 。

我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。 在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。 我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。 而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。 ——这就是对傅里叶世界观的描述。 你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。 下面进入正式环节↓↓↓↓↓↓ 傅里叶公式： 其中： 这就是鼎鼎大名的傅里叶公式！ 简单的理解： 每一个信号，在某个特定的配方下， 都可以由简单的正弦曲线组成 。傅里叶男爵猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。具体需要多少呢？无数个！【嘿， 上帝才不会让你这么简单的就发现他】 （插入题外话：为什么是男爵呢？傅里叶大佬曾经跟着拿破仑混过） 傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的 无限叠加。 而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 深入理解看这里：https://www.matongxue.com/madocs/619.html 为什么信号分析采用傅里叶变换？ 时域信号在经过傅立叶变换的分解之后，变为了不同正弦波信号的叠加，我们再去分析这些正弦波的频率，可以将一个信号变换到频域。

傅里叶: ...你们别打死我 "傅里叶"这个名字, 相信很多人听到之后, 一定都会觉得血液凝固, 两腿发抖...在理工科大学生的恐惧排行榜中, 我相信傅爷一定稳居前三. 是的, 没错, 在我们最痛恨的灭绝级专业课中, "傅里叶"这三个字是出现频率最高的. 傅里叶变换, 傅里叶积分, 傅里叶级数, 傅里叶分析...每一个都会让你陷入极度的痛苦之中无法自拔... 然而... 快速傅里叶变换实在没什么用 除非 毒瘤出题人朝你扔了2个100000位数相乘 or 相除 然后你就自闭了 暴力? 呵呵 看你TLE大法 所以 傅里叶?!傅利叶??!!博利叶???!!!玻璃液????!!!!吸玻璃液?????!!!!!西伯利亚 老母猪傅里叶 ??????!!!!!! 其实...傅里叶变换 来源： https://www.cnblogs.com/THE-NAMELESS-SPECTRE/p/11329942.html