二叉查找树

一步一步写平衡二叉树（AVL树） 转载： http://www.cppblog.com/cxiaojia/archive/2012/08/20/187776.html 　　平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是二叉查找树的一个进化体，也是第一个引入平衡概念的二叉树。1962年，G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis发明了这棵树，所以它又叫AVL树。平衡二叉树要求对于每一个节点来说，它的左右子树的高度之差不能超过1，如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1，就要进行节点之间的旋转，将二叉树重新维持在一个平衡状态。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多。 　　平衡二叉树实现的大部分过程和二叉查找树是一样的（学平衡二叉树之前一定要会二叉查找树），区别就在于插入和删除之后要写一个旋转算法去维持平衡，维持平衡需要借助一个节点高度的属性。我参考了机械工业出版社的《数据结构与算法分析-C语言描述》写了一个C++版的代码。这本书的AVLTree讲的很好，不过没有很完整的去描述。我会一步一步的讲解如何写平衡二叉树，重点是平衡二叉树的核心部分，也就是旋转算法。 第一步：节点信息

STL VECTOR动态数组 语句 定义方式：vector a; 在末尾压入容器：a.push_back(x); 在末尾弹出容器：a.pop_back(); 清空容器：a.clear(); 查询元素个数：a.size(); 首指针：a.begin(); 插入元素在sit位置：a.insert(sit,x);其中sit是vector的迭代器。 其它像数组一样调用就可以了。 看做是一个动态数组 复杂度 访问，添加啥的都是 \(o(1)\) ,但是常数比较大 栈和队列 语句 定义：stack a; 查询栈顶：a.top(); 压入栈顶：a.push(x); 将元素从栈顶弹出：a.pop(); 查询a中的元素个数：a.size(); 清空只能慢慢pop。 队列 定义：queue a; 插入队尾：a.push(x); 删除队首：a.pop(); 查询队尾：a.back(); 查询队首：a.front(); 查询长度：a.size(); 清空只能慢慢pop。 用栈写队列WTF 因为进栈出栈的时间复杂度都是O(1)的 加入的时候先进A再进B 时间复杂度为O(n) MAP •映射，把它看做一个无限大的数组。 •定义方式：map<int ,int> a; •使用方式：a[x]++,cout<<a[y]等。 •利用迭代器查询map里的所有二元组： •for (map<int,int>:

title: 平衡二叉树(AVL) date: 2020-01-14 11:26:36 tags: 数据结构 1.1平衡二叉树的定义 为了解决二叉查找树如果插入的顺序不合适，会导致二叉查找树变成一个单链(可以看二叉查找树文章当中的讨论)，例如按照递增序列建立二叉查找树就会导致一边倒的情况，从而无法发挥二叉树可以使得查找保持O(logn)查找的效率。故由使得二叉树的层数越小，导出了平衡二叉树。 AVL依然是一棵二叉查找树 (AVL的命名是由发现这个树的两个苏联科学家G.M.Adekse-Velskil和E.M.Landis提出的)，因此一般也称作AVL树。 左子树和右子树的高度之差称为该结点的平衡因子 由于需要对每个结点都要得到平衡因子，故在树的结点中加入一个height用以记录当前结点为根结点的子树的高度 struct node { int v, height; //v为结点权值 height为当前子树高度 node *lchild, *rchild; //左右孩子结点地址 }; 新建结点写法： node* newNode(int v) { node* Node = new node; Node->v = v; //结点权值 Node->height = 1; //结点高度初始为1 Node->lchild = Node->rchild = NULL; //初始状态无左右孩子

概要 前面分别介绍红黑树的 理论知识 、红黑树的 C语言 和 C++的实现 。本章介绍红黑树的Java实现，若读者对红黑树的理论知识不熟悉，建立先学习 红黑树的理论知识 ，再来学习本章。还是那句老话，红黑树的C/C++/Java实现，原理一样，择其一了解即可。 目录 1. 红黑树的介绍 2. 红黑树的Java实现(代码说明) 3. 红黑树的Java实现(完整源码) 4. 红黑树的Java测试程序 转载请注明出处： 更多内容： 数据结构与算法系列 目录 (01) 红黑树(一)之 原理和算法详细介绍 (02) 红黑树(二)之 C语言的实现 (03) 红黑树(三)之 Linux内核中红黑树的经典实现 (04) 红黑树(四)之 C++的实现 (05) 红黑树(五)之 Java的实现 (06) 红黑树(六)之 参考资料 红黑树的介绍 红黑树(Red-Black Tree，简称R-B Tree)，它一种特殊的二叉查找树。 红黑树是特殊的二叉查找树，意味着它满足二叉查找树的特征：任意一个节点所包含的键值，大于等于左孩子的键值，小于等于右孩子的键值。 除了具备该特性之外，红黑树还包括许多额外的信息。 红黑树的每个节点上都有存储位表示节点的颜色，颜色是红(Red)或黑(Black)。 红黑树的特性: (1) 每个节点或者是黑色，或者是红色。 (2) 根节点是黑色。 (3) 每个叶子节点是黑色。

AVL树 平衡二叉查找树（Self-balancing binary search tree）通常是指一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且任意节点的左右两个子树都是一棵平衡二叉树（即严格的平衡二叉查找树， “严格”二字体现在任意节点的左右子树高度差不超过1 ），平衡二叉树有多种实现方法（红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等） 本篇随笔分析的AVL树（ AVL树是根据它的发明者G. M. A delson- V elskii和 E. M. L andis命名的 ），是在二叉查找树的基础上一个优化版本（AVL树是严格的二叉查找树，而红黑树不是，红黑树是非严格的二叉查找树，红黑树有自己的一套规则来保证整棵树接近平衡） AVL树的特点： 1.本身首先是一棵二叉查找树 2.带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值不超过1， 也就是说，AVL树，本质上是带了平衡功能的二叉查找树 如果读者关于二叉查找树还不了解可以看一下这篇随笔： 二叉查找树（查找、插入、删除） AVL树的作用 AVL树解决了二叉查找树可能出现的极端情况，对于一般的二叉搜索树（Binary Search Tree），其期望高度（即为一棵平衡树时）为log2n，其各操作的时间复杂度（O(log2n)）同时也由此而决定，但是在某些极端情况下 （如在插入的序列是有序的时）

AVL树 是每个结点的左子树和右子树的高度最多差1的 二叉查找树 (空树的高度定义为-1)。 它能保持二叉树的高度平衡，尽量降低二叉树的高度，减少树的平均搜索长度。 AVL树的性质 ： 左子树和右子树的高度差不超过1 每个结点的左子树和右子树都是AVL树 每个结点都有一个平衡因子，任一结点的平衡因子是-1,0,1。每个结点的平衡因子等于右子树高度减去左子树的高度 AVL树是在二叉查找树的基础上建立的，我们知道二叉查找树在最坏情况下(每个结点只有左子树或右子树)增删查的时间复杂度是O(N)，这种极端的情况下树是高度不平衡的。 在二叉查找树的基础上，如果使左右子树的高度差不超过1，即达到高度平衡的状态，此时增删查的时间复杂度为O(logN)(2为底数)。 为了让它保持高度平衡，我们引入了平衡因子，每个结点的平衡因子只可能是-1,0,1中的一个。 每次插入/删除一个结点，我们都需要向上更新一下新增结点/删除结点的祖先的平衡因子。一旦发现某个祖先的平衡因子变为2或者-2，我们就需要通过旋转来使这棵树保持AVL树的特性。 来源： https://www.cnblogs.com/i-hard-working/p/10749998.html

小结： 1、红黑树：典型的用途是实现 关联数组 2、旋转 当我们在对红黑树进行插入和删除等操作时，对树做了修改，那么可能会违背红黑树的性质。 为了保持红黑树的性质，我们可以通过对树进行旋转，即修改树中某些结点的颜色及指针结构，以达到对红黑树进行插入、删除结点等操作时，红黑树依然能保持它特有的性质（五点性质）。 https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-046j-introduction-to-algorithms-sma-5503-fall-2005/video-lectures/lecture-10-red-black-trees-rotations-insertions-deletions/lec10.pdf Balanced search trees Balanced search tree: A search-tree data structure for which a height of O(lg n) is guaranteed when implementing a dynamic set of n items. AVL trees 2-3 trees 2-3-4 trees B-trees Red-black trees 【1】 Example of a

练习：等价二叉查找树 实现 Walk 函数。 测试 Walk 函数。 函数 tree.New(k) 用于构造一个随机结构的已排序二叉查找树，它保存了值 k, 2k, 3k, …, 10k。 创建一个新的信道 ch 并且对其进行步进： go Walk(tree.New(1), ch) 然后从信道中读取并打印 10 个值。应当是数字 1, 2, 3, …, 10。 用 Walk 实现 Same 函数来检测 t1 和 t2 是否存储了相同的值。 测试 Same 函数。 Same(tree.New(1), tree.New(1)) 应当返回 true，而 Same(tree.New(1), tree.New(2)) 应当返回 false。 Tree 的文档可在这里找到。 package main import ( "fmt" "golang.org/x/tour/tree" ) // Walk 步进 tree t 将所有的值从 tree 发送到 channel ch。 func Walk ( t * tree . Tree , ch chan int ) { // 递归到最左端 if nil != t . Left { Walk ( t . Left , ch ) } // L > R // 步进读取R ch <- t . Value if nil != t . Right { Walk

B+树索引是B+树在 数据库 中的一种实现，是最常见也是数据库中使用最为频繁的一种索引。 B+树中的B代表平衡（balance），而不是二叉（binary），因为B+树是从最早的平衡二叉树演化而来的。 在讲B+树之前必须先了解 二叉查找树 、 平衡二叉树（AVLTree） 和 平衡多路查找树（B-Tree） ，B+树即由这些树逐步优化而来。 二叉查找树 二叉树具有以下性质：左子树的键值小于根的键值，右子树的键值大于根的键值。 如下图所示就是一棵二叉查找树， 对该二叉树的节点进行查找发现深度为1的节点的查找次数为1，深度为2的查找次数为2， 深度为n的节点的查找次数为n， 因此其平均查找次数为 (1+2+2+3+3+3) / 6 = 2.3次 二叉查找树可以任意地构造，同样是2,3,5,6,7,8这六个数字，也可以按照下图的方式来构造： 但是这棵二叉树的查询效率就低了。因此 若想二叉树的查询效率尽可能高，需要这棵二叉树是平衡的，从而引出 新的定义——平衡二叉树，或称AVL树 。 平衡二叉树（AVL Tree）----（基于【二插树】改善，查询效率提高） 平衡二叉树（AVL树）在符合二叉查找树的条件下， 还满足任何节点的两个子树的高度最大差为1 。 下面的两张图片： 左边是AVL树，它的任何节点的两个子树的高度差<=1； 右边的不是AVL树，其根节点的左子树高度为3，而右子树高度为1；

本文采用Java语言来进行描述，帮大家好好梳理一下，在工作和面试中用的上数据结构与算法。亦即总结常见的的数据结构，以及在Java中相应的实现方法，务求理论与实践一步总结到位。 常用数据结构 数组 数组是相同数据类型的元素按一定顺序排列的集合，是一块连续的内存空间。数组的优点是：get和set操作时间上都是O(1)的；缺点是：add和remove操作时间上都是O(N)的。 Java中，Array就是数组，此外，ArrayList使用了数组Array作为其实现基础,它和一般的Array相比，最大的好处是，我们在添加元素时不必考虑越界，元素超出数组容量时，它会自动扩张保证容量。 Vector和ArrayList相比，主要差别就在于多了一个线程安全性，但是效率比较低下。如今java.util.concurrent包提供了许多线程安全的集合类（比如 LinkedBlockingQueue），所以不必再使用Vector了。 链表 链表是一种非连续、非顺序的结构，数据元素的逻辑顺序是通过链表中的指针链接次序实现的，链表由一系列结点组成。链表的优点是：add和remove操作时间上都是O(1)的；缺点是：get和set操作时间上都是O(N)的，而且需要额外的空间存储指向其他数据地址的项。 查找操作对于未排序的数组和链表时间上都是O(N)。 Java中，LinkedList 使用链表作为其基础实现。