不动点

今天有个小朋友向我提出了一个「了不起」的问题。 一个有趣的现象 打开一个没有 Bug 的计算器，任意输入一个数值 \(x\) ，然后找到函数 \(sin(x)\) 或者 \(cos(x)\) ，连续点击这个函数若干次，你会发现一个有趣的现象：无论初始的 \(x\) 为多少，最后的值总是接近某一个数值（这些数值在某个精度范围内是相等的）。 \(sin(x)\) 最后总为 \(0\) ， \(cos(x)​\) 最后为 0.73 或者 0.99 （取决于你的计算器是否开启弧度制）。 从数学的角度来看，实际上就是：定义 \(f^1(x) = f(x), f^2(x)=f(f(x)), f^{n}(x)=f(f(f(...f(x))))\) ， \(n\) 个 \(f\) 进行复合函数运算，求 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f^{n}(x)\) 。 显然，这道证明题我不会😅。 万能的搜索引擎 虽然我不会证明，但是找一下是什么知识点还是挺简单的。查了一圈回来，发现这其实是「数值分析」中的 不动点方程 。上述证明题， \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f^{n}(x)\) 的值实际上是 \(x = f(x)​\) 的根。这个方程用「零点定理」，写一个 while-loop 就出来了，所以就不说了。 算了

以下所有题目来自科学出版社 许天周的《应用泛函分析》。 1. 设$1 \le p \le q \le +\infty$，证明$l^p \subset l^q$。 证明： $\forall x=(x_1,x_2,\ldots) \in l^p$，$\forall \varepsilon >0$，恒存在自然数N，使得$\sum_{k=N}^{+\infty}{||x_k||}^p<\varepsilon^p$， 那么可得 ${||x_k||}^p<\varepsilon^p \Rightarrow {||x_k||}<\varepsilon，p \ge 1$， 进而 $\sum_{k=N}^{+\infty}{||x_k||}^q \le \varepsilon^{q-p}\sum_{k=N}^{+\infty}{||x_k||}^p< + \infty$ 所以$x \in l^q$ 2. 设[a,b]是有界闭区间，证明$L^2([a,b]) \subset L^1([a,b])$。 证明： $\forall x \in L^2([a,b]) $，有$[\int_a^b|f(t)|^2dt]^{\frac{1}{2}}<+\infty$，那么 $\int_a^b|f|dt \le [\int_a^b|f(t)|^2dt]^{\frac{1}{2}}[\int_a^b 1 dt]^{

知识点理解一: 函数: 函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为 f(x) 。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的 定义域 ，包含所有的输出值的集合被称作 值域 。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。 高阶函数: 在 数学 和 计算机科学 中， 高阶函数 是至少满足下列一个条件的 函数 : 接受一个或多个函数作为输入 输出一个函数 在数学中它们也叫做 算子 (运算符)或 泛函 。 微积分 中的 导数 就是常见的例子，因为它映射一个函数到另一个函数。 在 无类型 lambda 演算 ，所有函数都是高阶的；在 有类型 lambda 演算 （大多数 函数式编程语言 都从中演化而来）中，高阶函数一般是那些函数型别包含多于一个箭头的函数。在函数式编程中，返回另一个函数的高阶函数被称为 Curry化 的函数。 柯里化（ Currying ）: 在 计算机科学 中， 柯里化 （ Currying ），是把接受多个 参数 的 函数 变换成接受一个单一参数（最初函数的第一个参数）的函数，并且返回接受余下的参数而且返回结果的新函数的技术。这个技术由 Christopher Strachey 以逻辑学家 哈斯凯尔·加里 命名的，尽管它是 Moses Schönfinkel 和

一、不动点算法 又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域 A ,经某种变换ƒ( x ),映射到 A 时,使得 x =ƒ( x )成立的那种点。最早出现的 不动点理论 是布劳威尔定理(1912)：设 A 为 R n 中的一紧致凸集, ƒ为将 A 映射到 A 的一连续函数，则在 A 中至少存在一点 x ，使得 x =ƒ（ x ）。其后， 角谷静夫 于1941年将此定理推广到点到集映射上去。设对每一 x ∈ A ，ƒ( x )为 A 的一子集。若ƒ( x )具有性质：对 A 上的任一收敛序列 x i → x 0 ，若 y i ∈ƒ( x i )且 y i → y 0 ，则有 y 0 ∈ƒ( x 0 ),如此的ƒ( x )称为在 A 上半连续， 角谷静夫定理：设 A 为 R n 中的一紧致凸集，对于任何 x ∈ A ，若ƒ( x )为 A 的一非空凸集，且ƒ( x )在 A 上为上半连续，则必存在 x ∈ A ,使 x ∈ƒ( x )。 J.P.绍德尔和 J.勒雷 又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。 　　不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。例如，关于代数方程的基本定理，要证明ƒ( x )=0必有一根，只须证明在适当大的圆│ x │≤ R 内函数ƒ( x )+ x 有一不动点即可；在运筹学中，不动点定理的用途至少有二：