标准差公式

统计学里最基本的概念就是样本的均值、方差、标准差。首先，我们给定一个含有n个样本的集合，下面给出这些概念的公式描述： 均值： 方差： 标准差： 均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是有限的。 方差（variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。 而标准差给我们描述的是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。 以这两个集合为例，[0, 8, 12, 20]和[8, 9, 11, 12]，两个集合的均值都是10，但显然两个集合的差别是很大的，计算两者的标准差，前者是8.3后者是1.8，显然后者较为集中，故其标准差小一些，标准差描述的就是这种“散布度”。之所以除以n-1而不是n，是因为这样能使我们以较小的样本集更好地逼近总体的标准差，即统计上所谓的“无偏估计”。而方差则仅仅是标准差的平方。 来源： CSDN 作者： weixin_45664706 链接： https://blog.csdn.net/weixin_45664706/article/details/104652506

数据标准化处理是数据分析的一项基础工作，不同评价指标往往具有不同的量纲，数据之间的差别可能很大，不进行处理会影响到数据分析的结果。为了消除指标之间的量纲和取值范围差异对数据分析结果的影响，需要对数据进行标准化处理，就是说，把数据按照比例进行缩放，使之落入一个特定的区域，便于进行综合分析。 在继续下文之前，先解释三个个术语： （1）所谓 量纲 ，简单来说，就是说数据的单位；有些数据是有量纲的，比如身高，而有些数据是没有量纲的，例如，男女比例。无量纲化，是指去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或者量级的指标能够进行和加权。 （2）数据的标准化是指将数据按照比例缩放，使之落入一个特定的区间。 （3）归一化是数据标准化中最简单的方式，目的是把数变为（0，1）之间的小数，把有量纲的数据转换为无量纲的纯数量。 常用的归一化方法主要有离差标准化和标准差标准化，r的scale()可以实现标准差标准化，也可以指定标准化之后数据的均值和标准差。 一，离差标准化 离差标准化是对原始数据进行线性变化，使数值映射到[0,1]区间中，转换公式是： 离差标准化保留了原来数据中存在的关系，是消除量纲和数据取值范围对数据分析产生影响的最简单方法，缺点是如果数据集中，且某个数值很大，那么标准化之后大部分值会接近于0，并且不会相差很大。 二，标准差标准化 经过该方法处理的数据的均值是0，标准差是1

目录： 数学函数 统计函数 应用示例 控制流 数学函数 ceiling(x): 大于等于 x 的最小整数, 如： ceiling(3.213) --> 4 floor(x): 小于等于 x 的最大整数，如： floor(3.6534) --> 3 trunc(x): 取x的整数部分， 如： trunc(5.999) --> 5 round(x,digits=n): 将x舍入为指定的小数， 如： round(3.4567,2) --> 3.46 signif(x,digits=n)： 将x舍入为指定的有效数字位数 如： signif(3.4567,2) --> 3.5 统计函数 算术平均数： 直接将一组数据的各个数值相加除以数值个数，计算公式为： 加权算术平均值： 根据分组变量值出现的次数或频数为权数计算均数，公式如下： x1 为各组组中值（假定值）、f1为每组数据出现的频次，如下示例图， 调和平均值： 是各个变量值倒数的算术平均数的倒数，习惯用H表示，它通常作为算术平均数的变形使用的，也就是同于受所掌握的资料限制，有时不能直接采用算术平均数的，这就需要使用调和平均数的形式进行计算，公式如下： 示例：如早、中、晚菜价格分别是0.67，0.5,0.4 公斤/元,计算不同方式平均价 统计函数 mean(x): 平均数，语法： mean(x, trim = 0, na.rm = FALSE

//我们先来看一下几个名词基本解释. 1.标准差(Standard deviation) 简单来说,标准差是一组数值自平均值分散程度的一种测量观念.一个较大的标准差,代表大部分的数值和其平均值之间差异较大,一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值. 公式: 例如: 两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是7,但第二个集合具有较小的标准差. 标准差可以当作不确定性的一种测量.例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度.当要决定测量值是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色.如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较) 则认为测量值与预测值互相矛盾.这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值是否正确. 标准差应用于投资上,可作为量度回报稳定性的指标.标准差数值越大,代表回报远离过去平均数值,回报较不稳定故风险越高.相反,标准差数值越小,代表回报较为稳定,风险亦较小. 例如: A,B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95,85,75,65,55,45　　B组的分数为73,72,71,69,68,67.这两组的平均数都是70,但A组的标准差为17.078分,B组的标准差为2.160分,说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多. 2.方差.

方差、协方差和Pearson相关系数在机器学习的理论概念中经常出现，本文主要理一下这几个概念及其相互间的关系。 （一）方差： 方差是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数，公式如下： 上式中mui为样本均值。方差可以反应样本数据的离散程度，由上式可以看出，方差越大，样本离散程度也越大。机器学习中，如果某一特征值的离散程度很小，即表示该特征取值很少，可以认为样本在这个特征上基本没有差异，那这个特征对于样本区分没有什么作用，可以将这个特征去除，从而做到特征选择。 （二）标准差： 标准差即方差的开平方，不展开了，下面是公式： （三）协方差： 协方差描述的是两个变量间的相关性，计算公式如下： 也可以用以下公式表示，两者是等价的： cov(X, Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])] 上式中E[ ]表示求期望，其中E[X]为X特征期望或均值，E[Y]为Y特征期望或均值。 对比方差和协方差的公式可以看出两者很像，但方差的结果是大于等于0的，当等于0时，说明样本的x特征取值唯一，反应的样本的x特征的离散程度； 协方差的取值则可以大于零也可以小于零，当大于零时，说明对应的两个变量x和y与其均值相比都同大于或同小于，即两个变量的变化趋势相同（正相关）；当小于零时，说明对应的两个变量x和y不同时大于或小于其均值，即两个变量的变化趋势相反（负相关）；而当均方根接近零时

数学期望 数学期望E（x）完全由随机变量X的概率分布所确定，若X服从某一分布，也称E（x）是这一分布的数学期望。 数学期望的定义是实验中每次可能的结果的概率乘以其结果的总和。 离散型随机量的数学期望 定义：离散型随机变量的所有可能取值 xixi 与其对应的概率 P(xi) 乘积的和为该离散型随机量的数学期望，记为 E(X)。 公式： E(X)=∑i=1nxiPi 连续型随机量的数学期望 定义：假设连续型随机变量 XX的概率密度函数为 f(x)，如果积分∫+∞−∞xf(x)dx绝对收敛，则称这个积分的值为连续型随机量的数学期望，记为 E(X)。 公式： E(X)=∫+∞−∞xf(x)dx 数学期望的性质 设C为常数： E(C)==C 设C为常数： E(CX)==CE(X) 加法：E(X+Y)==E(X)+E(Y) 当X和Y相互独立时，E(XY)=)=E(X)E(Y) （主意，X和Y的相互独立性可以通过下面的“协方差”描述） 数学期望的意义 根据“大数定律”的描述，这个数字的意义是指随着重复次数接近无穷大时，数值的算术平均值几乎肯定收敛于数学期望值，也就是说数学期望值可以用于预测一个随机事件的平均预期情况。 方差 数学期望给出了随机变量的平均大小,现实生活中我们还经常关心随机变量的取值在均值周围的散布程度,而方差就是这样的一个数字特征。 方差有两个定义，一个是统计学的定义

'最喜欢通俗易懂地解释一个事情。', '<b>一、协方差：', '可以通俗的理解为：两个变量在变化过程中是同方向变化？还是反方向变化？同向或反向程度如何？', '你变大，同时我也变大，说明两个变量是同向变化的，这时协方差就是正的。', '你变大，同时我变小，说明两个变量是反向变化的，这时协方差就是负的。', '从数值来看，协方差的数值越大，两个变量同向程度也就越大。反之亦然。', '咱们从公式出发来理解一下：', '', '公式简单翻译一下是：如果有X,Y两个变量，每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其均值之差”得到一个乘积，再对这每时刻的乘积求和并求出均值（其实是求“期望”，但就不引申太多新概念了，简单认为就是求均值了）。', '下面举个例子来说明吧：', '比如有两个变量X,Y，观察t1-t7（7个时刻）他们的变化情况。', '简单做了个图：分别用红点和绿点表示X、Y，横轴是时间。可以看到X，Y均围绕各自的均值运动，并且很明显是同向变化的。', '这时，我们发现每一时刻的值与的值的“正负号”一定相同（如下图：比如t1时刻，他们同为正，t2时刻他们同为负）：', '所以，像上图那样，当他们同向变化时，与的乘积为正。这样，当你把t1-t7时刻与的乘积加在一起，求平均后也就是正数了。', '如果反向运动呢？', '很明显，的值与的值的“正负号”一定相反，于是与的乘积就是负值了

统计学里最基本的概念就是样本的均值、方差、标准差。首先，我们给定一个含有n个样本的集合，下面给出这些概念的公式描述： 均值： 标准差： 方差： 均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是有限的，而标准差给我们描述的是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。 以这两个集合为例，[0, 8, 12, 20]和[8, 9, 11, 12]，两个集合的均值都是10，但显然两个集合的差别是很大的，计算两者的标准差，前者是8.3后者是1.8，显然后者较为集中，故其标准差小一些，标准差描述的就是这种“散布度”。之所以除以n-1而不是n，是因为这样能使我们以较小的样本集更好地逼近总体的标准差，即统计上所谓的“无偏估计”。而方差则仅仅是标准差的平方。 标准差和方差一般是用来描述一维数据的，但现实生活中我们常常会遇到含有多维数据的数据集，最简单的是大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。面对这样的数据集，我们当然可以按照每一维独立的计算其方差，但是通常我们还想了解更多，比如，一个男孩子的猥琐程度跟他受女孩子的欢迎程度是否存在一些联系。协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量，我们可以仿照方差的定义： 来度量各个维度偏离其均值的程度，协方差可以这样来定义： 协方差的结果有什么意义呢？如果结果为正值，则说明两者是正相关的（从协方差可以引出“相关系数”的定义）

loc 平均值 scale (scale) 标准差 pdf(x, loc=0, scale=1) 正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。 from scipy.stats import norm import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt dmean=0.5 dstd=1 x=np.arange(-5,5,0.01) y=norm.pdf(x,dmean,dstd) plt.plot(x,y) plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.show()

方差分为：样本方差和总体方差； 　　总体方差计算公式： 　　 　　 为总体方差， 为变量， 为总体均值， 为总体例数。 　　实际工作中， 总体均数难以得到时 ，应用样本统计量代替总体参数，经校正后，样本方差计算公式： 　　S^2= ∑（X- ） ^2 / （n-1） 　　S^2为样本方差，X为变量， 为样本均值，n为样本例数。 标准差的平方就是方差； arr =【2，1，5】 excel上拉数据透视表： 总体方差：2.888889 　　　　　　　#=POWER（STDEVP(arr)，2） 总体标准（偏）差：1.699673　　　　#=STDEVP(arr) 方差：4.333333 #=VAR（arr） #样本方差 标准（偏）差：2.081666 #=SQRT(VAR(arr)) #样本标准差 python-numpy: import numpy as nparr = [2, 1, 5]arr_mean = np.mean(arr)arr_var = np.var(arr，ddof=1) #样本方差 arr_std = np.std(arr,ddof=1) #样本标准差 ddof就是：n-ddof,ddof默认为0print("平均值为：%f" % arr_mean)print("方差为：%f" % arr_var)print("标准差为:%f" % arr_std) 平均值为：2