变换矩阵

原文地址： https://www.cnblogs.com/shine-lee/p/10950963.html 写在前面 2D图像常见的坐标变换如下图所示： 这篇文章不包含 透视变换 （projective/perspective transformation），而将重点放在 仿射变换 （affine transformation），将介绍仿射变换所包含的各种变换，以及变换矩阵该如何理解记忆。 仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射 仿射变换包括如下所有变换，以及这些变换任意次序次数的组合 ： 平移 （translation）和 旋转 （rotation）顾名思义，两者的组合称之为 欧式变换 （Euclidean transformation）或 刚体变换 （rigid transformation）； 放缩 （scaling）可进一步分为 uniform scaling 和 non-uniform scaling ，前者每个坐标轴放缩系数相同（各向同性），后者不同；如果放缩系数为负，则会叠加上 反射 （reflection）——reflection可以看成是特殊的scaling； 刚体变换+uniform scaling 称之为， 相似变换 （similarity transformation），即平移+旋转+各向同性的放缩； 剪切变换 （shear mapping

转载：https://blog.csdn.net/u014096352/article/details/53526747 图像的等距变换，相似变换，仿射变换，射影变换及其matlab实现 　 非常详细的一个说明，珍藏了。 今天，我们学习一下图像（2维平面）到图像（2维平面）的四种变换， 等距变换，相似变换，仿射变换，投影变换 首先介绍它的原理，最后介绍matlab的实现 1.数学基础 射影变换矩阵 H H 属于 射影群 P L ( n ) PL(n) 中的一个，仿射群是由 P L ( 3 ) PL(3) 中最后一行为 ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) 的矩阵组成的 子群 ，包括 仿射群 ， ŷʽȺ ，其中欧式群是仿射群的子群，其左上角的矩阵是正交的，当它的行列式为1是称为定向欧式群，距离是欧式群的不变量，但不是相似群的不变量，而夹角是这两个群的不变量。 听了这么多群，不变量的数学概念，可能有点晕，下面我用最直观的语言解释。线性空间中的线性变换可以用矩阵来描述，因此我们用矩阵来刻画这四种变换。我们以数学系的经典代数入门教材北大版的《高等代数》为例，研究这些变换是如何进行的 2. 等距变换 等距变换（isometric transform），保持欧式距离不变，当图像中的点用齐次坐标表示时， 其中 R R 是旋转矩阵。 t t 是平移矢量，有3个自由度（1旋转角 θ θ

很遗憾，Matrix（矩阵）是什么是说不清的。你必须得自己 亲眼看看 。----墨菲斯 一、线性变换（Linear transformation） 1.transformation（变换）本质上是“函数”的一种花哨的说法，它接收输入内容，并输出对应结果。特别地，在线性代数的情况下，我们考虑的是接收一个向量并且输出一个向量的变换。 2.为什么“变换”和“函数”意义相同，却使用前者而不是后者？使用“变换”是在暗示以特定方式来可视化这一输入-输出关系。一种理解“向量的函数”的方法是使用运动。 3.变换是很随意的，但是线性变换需要具备以下两条性质： 直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲。 原点必须保持固定。 4.总的来说，你应该把线性变换看作是“保持网格线平行并等距分布”的变换。 5.如何用数值描述线性变换？我们只需要记住基向量，i帽和j帽。v向量=-1i帽+2j帽。那么变换后的i帽和j帽从[1,-2]到[3,0]通过计算可以得到v向量的值为[5,2]。所以很炫酷呀，我们只需要记住基向量就可以推断出任何向量的落脚点（变换后的落脚点），完全不必观察变换本身是什么样 6.一个二维线性变换仅由四个数字完全确定，变换后i帽的两个坐标与变换后j帽的两个坐标，通常我们将这些坐标包装在一个2*2的格子中，称它为2*2矩阵，你可以把它的列理解为两个特殊的向量，即i帽和j帽分别落脚的位置。 7

二维图形基本几何变换是指相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换，包括 平移 （Translate）、 比例 （Scale）、 旋转 （Rotate）、 反射 （Reflect）和 错切 （shear）5种变换。物体变换物体变换是通过变换物体上每一个顶点实现的，因此以点的二维基本几何变换为例讲解二维图形基本几何变换矩阵 。 上面讨论的五种变换给出的都是点变换的公式，对于线框模型，图形的变换实际上都可以通过点变换来完成。例如直线段的变换可以通过对两个顶点坐标进行变换，连接新顶点得到变换后的新直线段；多边形的变换可以通过对每个顶点进行变换，连接新顶点得到变换后的新多边形。曲线的变换可通过变换控制多边形的控制点后，重新绘制曲线来实现。 符合下面形式的坐标变换称为 二维仿射变换 （Affine Transformation）。 仿射变换具有平行线变换成平行线，有限点映射到有限点的一般特性。平移、比例、旋转、反射和错切五种变换都是二维仿射变换的特例，任何一组二维仿射变换总可表示为这5种变换的组合。 文章来源: 二维图形基本几何变换矩阵

简介 Kaldi 目前支持多种特征和模型空间的变换与映射。特征空间变换和映射通过工具来处理（本质上就是矩阵），以下章节将介绍： 全局线性或仿射变换 说话人无关或单一说话人（ per-speaker ）或者（ per-utterance ）单一句子自适应 句子-说话人（ Utterance-to-speaker ）和说话人-句子（ speaker-to-utterance ）映射 组合变换 估计变换时的静音权重 变换，投影或者其他没有特定说话人的特征操作包括： 线性判别性分析（LDA） 帧拼接和差分特征计算 异方差的线性判别性分析（HLDA） 全局半协方差／最大似然线性变换 全局变换主要通过说话人自适应的方式应用： 全局GMLLR／fMLLR变换 线性声道长度归一化 指数变换 谱均值和方差归一化 下面我们将介绍回归树以及用到回归树的变换： 为自适应构建回归类树 全局线性或仿射特征变换 Matrix<BaseFloat> The Tableconcept )中。 变换可以通过程序transform-feats应用于特征上，语法如下 Specifying Tableformats: wspecifiers and rspecifiers Extendedfilenames: rxfilenames and wxfilenames ).这个程序通常用于管道的一部分。

from: https://www.cnblogs.com/marsggbo/p/10144060.html 线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子

from: https://www.cnblogs.com/marsggbo/p/10152644.html#autoid-4-0-0 https://www.cnblogs.com/marsggbo/p/10156077.html 1 | 0 I. 行列式(Determinants)和迹(Trace) 1 | 1 1. 行列式(Determinants) 为避免和绝对值符号混淆，本文一般使用 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 ) det(A)来表示矩阵 𝐴 A的行列式。另外这里的 𝐴 ∈ 𝑅 𝑛 × 𝑛 A∈Rn×n默认是方阵，因为只有方阵才能计算行列式。 行列式如何计算的就不在这里赘述了，下面简要给出行列式的各种性质和定理。 定理1 ：当且仅当一个方阵的行列式不为0，则该方阵可逆。 定理2 ：方阵 𝐴 A的行列式可沿着某一行或某一列的元素展开，形式如下: 沿着第 𝑖 i行展开: 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 ) = ∑ 𝑘 = 1 𝑛 ( − 1 ) 𝑘 + 𝑖 𝑎 𝑖 𝑘 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 𝑖 , 𝑘 ) det(A)=∑k=1n(−1)k+iaikdet(Ai,k) 沿着第 𝑖 i列展开: 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 ) = ∑ 𝑘 = 1 𝑛 ( − 1 ) 𝑘 + 𝑖 𝑎 𝑘 𝑖 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 𝑘 , 𝑖 ) det(A)=∑k=1n(−1)k+iakidet(Ak,i) 定理3

作者: 刘鹏 日期: 2009-03-07 Android 平台提供了两类动画，一类是 Tween 动画，即通过对场景里的对象不断做图像变换(平移、缩放、旋转)产生动画效果；第二类是 Frame 动画，即顺序播放事先做好的图像，跟电影类似。本文分析了 Tween 动画的实现原理。 主要思路 Tween 动画通过对 View 的内容完成一系列的图形变换 (包括平移、缩放、旋转、改变透明度)来实现动画效果。 具体来讲，预先定义一组指令，这些指令指定了图形变换的类型、触发时间、持续时间。这些指令可以是以 XML 文件方式定义，也可以是以源代码方式定义。程序沿着时间线执行这些指令就可以实现动画效果。 动画的进度使用 Interpolator 控制，android 提供了几个 Interpolator 子类，实现了不同的速度曲线，如LinearInterpolator 实现了匀速效果、 Accelerateinterpolator 实现了加速效果、DecelerateInterpolator 实现了减速效果等。还可以定义自己的 Interpolator 子类，实现抛物线、自由落体等物理效果。 动画的运行模式有两种： 独占模式，即程序主线程进入一个循环，根据动画指令不断刷新屏幕，直到动画结束； 中断模式，即有单独一个线程对时间计数，每隔一定的时间向主线程发通知，主线程接到通知后更新屏幕；

我在前面博客中提到，当三维坐标点发生旋转时，如果采用 矩阵运算就会需要考虑“左乘”和“右乘”。若绕静坐标系（世界坐标系）旋转，则左乘，也是变换 矩阵*坐标 矩阵；若是绕动坐标系旋转（自身建立一个坐标系），则右乘，也就是坐标 矩阵*变换 矩阵。 但现实中，我们只是对一个图像、点云进行旋转，则均是左乘实现 举例 对坐标点进行三维绕z轴逆时针旋转60度 如果以逆时针旋转为正，则 左乘 T_Unclockwise = cos(60°） -sin(60°) 0 sin(60°) cos(60°） 0 0 0 1.0000 A = [10;20;30] 如果以顺时针旋转为正，则 左乘 T_Clockwise = cos(-60°） sin(-60°) 0 -sin(-60°) cos(-60°） 0 0 0 1.0000 注意上述旋转 矩阵正负号不同，有些书上坐标变换是右乘，其实质是A'*inv(T_Unclockwise(60°))，还是逆时针为正，这里不建议写成右乘 T_Clockwise(-60°) *A = T_Unclockwise(60°) *A %%逆时针旋转60度 ans = -12.3200 1.3400 30.0000 T_Clockwise(60°)= inv(T_Unclockwise(60°))，互逆的，仅限旋转 矩阵，加入平移和缩放参数后的变换 矩阵不适用。

题意简述：有一个 \(n\times m\) 的矩阵 \(a\) ， \([1, n\cdot m]\) 的整数恰好在其中出现一次。我们需要执行以下三次操作： 将 \(a\) 的每一行 \(m\) 个数任意变换顺序，得到矩阵 \(b\) 。 将 \(b\) 的每一列 \(n\) 个数任意变换顺序，得到矩阵 \(c\) 。 将 \(c\) 的每一行 \(m\) 个数任意变换顺序，得到矩阵 \(d\) 。 其中，矩阵 \(d\) 满足 \(d_{i, j}=(i-1)\cdot m+j\) 。要求输出矩阵 \(b\) 和 \(c\) 。 考虑由矩阵 \(d\) 倒推回 \(c, b\) 。由于 \(c\rightarrow d\) 的过程 来源： https://www.cnblogs.com/suwakow/p/11675289.html