变换矩阵

​本文转载自微信公众号ROBOTICS 原作者：CC 编辑：古月居 原文链接： https://mp.weixin.qq.com/s/eOq5QweS-VIg2e0qmkihMw 今天我们要讲所有学习机器人学的人都需要具备的一项基本技能——坐标变换。看明白这篇文章，你需要一点基础的向量和矩阵知识，不用多，只要知道 向量的加减，点乘（内积）；矩阵的定义、加减乘逆以及转置；还有矩阵与向量的乘法 就够了。 机器人学为什么需要坐标变换呢？因为控制一个机械臂的根本，就是弄明白每一个关节的joint position与end effector的position and orientation的关系，用更简洁的话来讲，就是joint space与operational space之间的互相映射关系。这里有两个小说明： 不仅仅是位置/角度的映射关系，也包括 速度、加速度、力或扭矩的映射关系 所有我直接用英文而没有翻译的词汇，都是我在 第一篇文章 中解释过的重要概念 好了，接下来就让我们暂时不谈机器人，先把让很多人觉得头疼的坐标变换搞明白。 坐标系(coordinate system) 描述空间位置、速度和加速度，大部分都是用笛卡尔坐标系，也就是大家熟知的三个互相垂直的坐标轴组成的坐标系。我只想强调几个地方： 像题图那样的彩色坐标系，若无特别说明，都是 rgb(红绿蓝）依次对应 xyz

http://www.ituring.com.cn/tupubarticle/2024 第 1 章　基本的图像操作和处理 本章讲解操作和处理图像的基础知识，将通过大量示例介绍处理图像所需的 Python 工具包，并介绍用于读取图像、图像转换和缩放、计算导数、画图和保存结果等的基本工具。这些工具的使用将贯穿本书的剩余章节。 1.1　PIL：Python图像处理类库 PIL（Python Imaging Library Python，图像处理类库）提供了通用的图像处理功能，以及大量有用的基本图像操作，比如图像缩放、裁剪、旋转、颜色转换等。PIL 是免费的，可以从 http://www.pythonware.com/products/pil/ 下载。 利用 PIL 中的函数，我们可以从大多数图像格式的文件中读取数据，然后写入最常见的图像格式文件中。PIL 中最重要的模块为 Image 。要读取一幅图像，可以使用： from PIL import Image pil_im = Image . open ( 'empire.jpg' ) 上述代码的返回值 pil_im 是一个 PIL 图像对象。 图像的颜色转换可以使用 convert() 方法来实现。要读取一幅图像，并将其转换成灰度图像，只需要加上 convert('L') ，如下所示： pil_im = Image . open (

转 http://learn.gxtc.edu.cn/NCourse/jxcamcad/cadcam/Mains/main11-2.htm 2.3.3 基本二维变换 基本二维变换有比例变换（Scaling）、旋转变换（Rotating）、错切变换（Shearing）和平移变换（Translating）。 1）比例变换 比例变换就是将平面上任意一点的横坐标放大或缩小S11倍，纵坐标放大或缩小S22倍，即 其中S称为比例变换矩阵。图2．24是比例变换的几个例子。图中（b）是S11=S22的情况，（C）是S11≠S21的情况 2）旋转变换 旋转变换就是将平面上任意一点绕原点旋转θ角，一般规定逆时针方向为正，顺时针方向为负。从图2．25可推出变换公式： 3）错切变换 在旋转变换矩阵中，非对角线元素有何几何意义？观察图2．26中的例子。变换矩阵中元素S21起作把图形沿X方向“错切”的作用，Y值越小，错切量越小。S12则有将图形向Y方向“错切”的作用，同样其作用的大小与X值成正比。 4）平移变换 平移交换指的是将平面上任意一点沿X方向移动C。，沿Y方向移动ty（图2．27），其变换公式为 由上式可见，平移交换不能直接用2X2矩阵来表示。下述齐次坐标变换矩阵则可解决这个问题。 注意:这句话关键(疑问点在于为什么二位转换需要3x3的矩阵) 2.3.4 齐次坐标 如把平面上的点P=[Xy

特征值与特征向量的几何意义 矩阵的乘法是什么，别只告诉我只是“前一个矩阵的行乘以后一个矩阵的列”，还会一点的可能还会说“前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数才能相乘”，然而，这里却会和你说——那都是表象。 矩阵乘法真正的含义是变换，我们学《线性代数》一开始就学行变换列变换，那才是线代的核心——别会了点猫腻就忘了本——对，矩阵乘法 就是线性变换，若以其中一个向量A为中心，则B的作用主要是使A发生如下变化： 1、伸缩 clf; A = [0, 1, 1, 0, 0;... 1, 1, 0, 0, 1]; % 原空间 B = [3 0; 0 2]; % 线性变换矩阵 plot(A(1,:),A(2,:), '-*');hold on grid on;axis([0 3 0 3]); gtext('变换前'); Y = B * A; plot(Y(1,:),Y(2,:), '-r*'); grid on;axis([0 3 0 3]); gtext('变换后'); 从上图可知，y方向进行了2倍的拉伸，x方向进行了3倍的拉伸，这就是B=[3 0; 0 2]的功劳,3和2就是伸缩比例。请注意，这时B除了对角线元素为各个维度的倍数外，非正对角线元素都为0，因为下面将要看到，对角线元素非0则将会发生切变及旋转的效果。 2、切变 clf; A = [0, 1, 1, 0, 0;... 1, 1, 0

文章 : NICE: NON-LINEAR INDEPENDENT COMPONENTS ESTIMATION 学习目标 ：找一个变换 h=f(x) ，使得变换后的分布的每个分量是 独立 的 我们假设 h 和 x 的维度是 一样 的， f 是 可逆 的，则我们有 并且，我们希望 f 的 Jacobian 矩阵和 f −1 比较容易计算。如果这是可以操作的，那么我们可以直接采样 p X (x) , 这个 f 的设计的主要核心思想是，将 x 分裂成两部分 (x1,x2) ,然后变换成 (y1,y2) , m 可以是任意的函数(i.e., a ReLU MLP). 注意到，Jacobian矩阵的行列式是 单位阵 ，并且非常容易算 逆函 数， 当然我们可以定义更一般性的架构,，加性交错coupling的架构。并且可以有一层一层的变换，有种flow的感觉。 我们可以定义最大似然函数： p H (h) ：先验分布，可以事先定义好的，比如各向同性的高斯分布.如果 h 的每个分量都是 独立 的，我们可以写成， 还有很多模型，待续。。。 来源： https://www.cnblogs.com/skykill/p/11986839.html

这部分我们通过选择更好的基底来产生更好的矩阵。当我们的目标是对角化矩阵时，一个选择可以是一组特征向量基底，另外一个选择可以是两组基底，输入基底和输出基底是不一样的。这些左右奇异向量是矩阵四个基本子空间中标准正交的基向量，它们来自于 SVD。 事实上，所有对 \(A\) 的分解都可以看作是一个基的改变。在这里，我们只关注两个突出的例子，有一组基的 \(\Lambda\) 和有两组基的 \(\Sigma\) 。 \(S^{-1} AS=\Lambda\) 如果输入和输出基都是 \(A\) 的特征值。 \(U^{-1} AV=\Sigma\) 如果这些基分别是 \(A^TA\) 和 \(AA^T\) 的特征值。 只有当 \(A\) 是方阵并且有 \(n\) 个不相关的特征向量时，我们才能将其对角化成 \(\Lambda\) 。而通过 SVD，任意矩阵都可以对角化成 \(\Sigma\) 。如果一个矩阵是对称的、反对称的或者正交的，那么有 \(A^TA=AA^T\) ，在这种情况下，奇异值是特征值的绝对值，上面的两个对角化形式除了一个 \(-1\) 或者 \(e^{i\theta}\) 的因子外是相同的。 另外，注意 Gram-Schmidt 分解 \(A=QR\) 只选择了一个新的基底，也就是通过 \(Q\) 给出的输出正交基，而输入基底则是标准基由 \(I\) 给出

均值： 描述的是样本集合的中间点。 方差： 描述的是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均，一般是用来描述一维数据的。 协方差： 是一种用来度量两个随机变量关系的统计量。 只能处理二维问题。 计算协方差需要计算均值。 如下式： 方差与协方差的关系 方差是用来度量单个变量 “ 自身变异”大小的总体参数，方差越大表明该变量的变异越大 协方差是用来度量两个变量之间 “协同变异”大小的总体参数，即二个变量相互影响大小的参数，协方差的绝对值越大，则二个变量相互影响越大。 协方差矩阵： 协方差矩阵能处理多维问题； 协方差矩阵是一个对称的矩阵，而且对角线是各个维度上的方差。 协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的。 样本矩阵中若每行是一个样本，则每列为一个维度，所以计算协方差时要 按列计算均值 。 如果数据是3维，那么协方差矩阵是： 特征值与 特征向量 线性变化： 线性变换 (线性映射)是在作用于 两个向量空间之间的函数 ，它保持 向量加法和标量乘法 的运算，从一个向量空间变化到另一个向量空间。 实际上线性变换表现出来的就是一个矩阵 。 特征值和特征向量 是一体的概念： 对于一个给定的线性变换（矩阵A），它的特征向量 ξ 经过这个线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的 ξ 保持在同一條直線上，但其长度也许會改变。一个特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例(λ)称为其特征值

矩阵变换是线性代数中矩阵的一种运算形式。 在 线性代数 中，矩阵的 初等变换 是指以下三种变换类型 ： (1) 交换矩阵的两行（对调i,j，两行记为ri，rj）； (2) 以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为ri×k）； (3) 把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为ri+krj)。 类似地，把以上的“行”改为“列”便得到矩阵初等变换的定义，把对应的记号“r”换为“c”。 矩阵的初等行变换与初等列变换合称为矩阵的初等变换（来源百度百科） 矩阵的初等变换 行阶梯形矩阵 行最简形 来源： https://www.cnblogs.com/julyzqy/p/11938650.html

前言 ​ 本资料整理了高光谱遥感图像概念定义、分析处理与分类识别的基本知识。第一部分介绍高光谱图像的一般性原理和知识，第二部分介绍了高光谱图像的噪声问题；第三部分介绍高光谱图像数据冗余问题以及数据降维解决冗余的方法；第四部分介绍高光谱图像的混合像元问题，对光谱解混做了一定介绍；第五部分和第六部分分别介绍了高光谱图像的监督分类和分监督分类的特点、流程和常用算法。 1.基本介绍 高光谱遥感(Hyperspectral remote sensing) 是将成像技术和光谱技术相结合的多维信息获取技术,同时探测目标的二维集合空间与一维光谱信息,获取高光谱分辨率的连续、窄波段图像数据。 高光谱图像与高分辨率图像、多光谱图像不同。 高光谱识别优势： 光谱分辨率高、波段众多，能够获取地物几乎连续的光谱特征曲线，并可以根据需要选择或提取特定波段来突出目标特征； 同一空间分辨率下，光谱覆盖范围更宽，能够探测到地物更多对电磁波的响应特征； 波段多，为波段之间的相互校正提供了便利； 定量化的连续光谱曲线数据为地物光谱机理模型引入图像分类提供了条件； 包含丰富的辐射、空间和光谱信息，是多种信息的综合载体。 高光谱在识别方面的困难： 数据量大，图像包含几十个到上百个波段，数据量是单波段遥感图像的几百倍；数据存在大量冗余，处理不当，反而会影响分类精度；

1 ．实验目的： 理解掌握OpenGL程序的投影变换，能正确使用投影变换函数，实现正投影与透视投影。 2 ．实验内容： （1） 使用图a中的尺寸绘制小桌，三维效果图见图b。要求绘制小桌各部件时只能使用函数glutSolidCube()和变换函数，不能使用函数glVertex()等直接指定顶点位置； （2）添加键盘按键或右键菜单控制实现小桌效果图在正投影和透视投影模式间的切换；在此基础上，考虑一点透视、两点透视、三点透视三类效果图的显示。 3 ．实验原理： OpenGL通过相机模拟、可以实现 计算机 图形学中最基本的三维变换，即几何变换、投影变换、视口变换等，同时，OpenGL还实现了矩阵堆栈等。理解掌握了有关坐标变换的内容，就算真正走进了精彩地三维世界。 一、OpenGL中的三维物体的显示 （一）坐标 系统 在现实世界中，所有的物体都具有三维特征，但计算机本身只能处理数字，显示二维的图形，将三维物体及二维 数据 联系在一起的唯一纽带就是坐标。 为了使被显示的三维物体数字化，要在被显示的物体所在的 空间 中定义一个坐标系。这个坐标系的长度单位和坐标轴的方向要适合对被显示物体的描述，这个坐标系称为世界坐标系。世界坐标系是始终固定不变的。 OpenGL还定义了局部坐标系的概念，所谓局部坐标系，也就是坐标系以物体的中心为坐标原点，物体的旋转或平移等操作都是围绕局部坐标系进行的，这时