埃尔米特插值

埃尔米特插值 我们知道，线性插值思想在于利用n个零点解出唯一的n维多项式映射，这种方法保证了曲线的连续性但是不能保证其平滑性，例如拉格朗日插值多项式在高次情况下容易出现的抖动问题正反映了它的导数与原曲线差别是很大的。在一些情况下我们需要限定拟合曲线的导数值也尽量接近原曲线，这时可以采用Hermite插值的方法。 现假设有一函数 f ∈ C [ a , b ] f\in C[a,b] f ∈ C [ a , b ] ，给出一系列探测点 { ( x 0 , f ( x 0 ) ) , ( x 0 , f ′ ( x 0 ) ) , ( x 0 , f ′ ′ ( x 0 ) ) , ⋯ ( x 0 , f m ( x 0 ) ) , } \{ (x_0,f(x_0)),(x_0,f\prime(x_0)),(x_0,f\prime\prime(x_0)),\cdots (x_0,f^{m}(x_0)), \} { ( x 0 ​ , f ( x 0 ​ ) ) , ( x 0 ​ , f ′ ( x 0 ​ ) ) , ( x 0 ​ , f ′ ′ ( x 0 ​ ) ) , ⋯ ( x 0 ​ , f m ( x 0 ​ ) ) , } ，我们可以写出它在 x 0 x_0 x 0 ​ 处的密切多项式： P ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x −

数据插值可以根据有限个点的取值情况，合理估算出附近其它点的取值，从而节约大量的实验和测试资源，节省大量的人力物力和财力。 从数学上讲，数据插值是一种函数逼近的方法。 interp1() 一维插值函数 例： Y1=interp1(X,Y,X1,method) 根据X、Y的值，计算函数在X1处的值，其中，X、Y是两个等长的已知向量，分别表示采样点和采样值，X1是一个向量或标量，表示要插值的点。 method函数： 1.linear线性插值，默认方法，将于插值点靠近的两个数据点用直线链接，然后在直线上选取对应插值点的数据。 2.nearest最近点插值，选择最近样本点的值作为插值数据。 3.pchip分段三次埃尔米特插值，除满足插值条件之外，还需要满足在若干节点处相邻段插值函数的一阶导数相等，使得曲线光滑的同时，还具有保型性。（就是说曲线连续） 4.spline三次样条插值，每个分段内构造一个三次多项式，使其插值函数除了满足插值条件以外，还要求在个结点处具有连续的一阶和二阶导数。 为什么不用更高阶的多项式？ 多项式并非越高越好，次数越高，越容易产生震荡而偏离原函数，这种现象称为龙格（Runge）现象。 函数插值的简单使用范例： 我用y=x^2来作为示范 >> x=-2:1:2; >> y=[4,1,0,1,4]; >> x1=-2:0.01:2; >> y1=interp1(x,y,x1

样本点少于30个时，需要创造样本点，则用插值算法；样本点多于30个时，用拟合函数。 定义： 数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这是就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。 插值有一个插值区间，在区间内给一个新的xi，由求出的函数得到对应的yi，目的就是求这个函数，然后求出(xi,yi)来扩充数据集。 插值法分类： 1.多项式插值（得到的是经过所有点的一个插值函数） ①一般多项式插值 ②.拉格朗日插值法 ③.牛顿插值法 多项式插值存在的问题： 龙格现象：当函数的次数过高时，xi加大一点对函数值的影响就会很大。 为了解决龙格现象，引入了分段插值。 2.分段插值（非得到一个插值函数，而是用很多分段插值函数求每个分段上的xi的函数值） ①埃尔米特插值：不仅函数值相等，而且一阶导数相等 ②分段三次埃尔米特插值 ③三次样条插值：二阶导数连续可微 对比： n维插值问题：（同一维插值） 总结： 样本点很少的时候用插值算法（插值函数需经过所有的样本点），有大量样本点的时候用拟合算法（不一定经过每个样本点，只要满足一定的精度即可）。 来源： https://www.cnblogs.com/wisir/p/11541529.html

　　插值的通俗解释就是一种 用一些已知的数据去预测想要的数据 的方法。 多项式插值 　　多项式插值是最常见的一种 函数插值 (插值函数为多项式)。 $${p_n}(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \cdots + {a_n}{x^n}$$ 　　从几何上看可以理解为：已知 平面上n+1个不同点，要寻找一条n次插值多项式函数$p(x)$通过曲线$f(x)$上已知的这n+1个点 。使$p(x)$接近$f(x)$。 　　而将n个点代入多项式函数，则可 用方程组表示，即 $$\left\{\begin{array}{l}{a_{0}+a_{1} x_{0}+a_{2} x_{0}^{2}+\cdots+a_{n} x_{0}^{n}=y_{0}} \\ {a_{0}+a_{1} x_{1}+a_{2} x_{1}^{2}+\cdots+a_{n} x_{1}^{n}=y_{1}} \\ {\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \\ {a_{0}+a_{1} x_{n}+a_{2} x_{n}^{2}+\cdots+a_{n} x_{n}^{n}=y_{n}}\end{array}\right.$$ 　　当系数矩阵满秩时