If you use stack to reshape everything to long form, you can call table on the result:
dfnew <- data.frame(C1 = c("A", "A", "T", "C", "C", "C", "T", "G", "C", "G", "G", "G", "T", "A", "A", "A", "T", "A", "G"),
C2 = c("A", "T", "A", "A", "A", "A", "C", "A", "T", "A", "G", "A", "T", "T", "C", "A", "G", "A", "T"),
C3 = c("G", "T", "G", "A", "T", "A", "T", "G", "A", "A", "T", "C", "C", "A", "A", "C", "G", "A", "G"),
C4 = c("A", "T", "A", "A", "T", "A", "G", "C", "T", "A", "T", "T", "T", "G", "A", "A", "A", "A", "G"),
C5 = c("G", "G", "T", "A", "T", "T", "A", "T", "G", "G", "T", "T", "T", "C", "A", "A", "A", "G", NA),
C6 = c("A", "G", "A", "G", "C", "A", "A", "A", "A", "G", "A", "A", "T", "T", "A", "A", "T", "T", NA),
stringsAsFactors = FALSE)
table(stack(dfnew))
#> ind
#> values C1 C2 C3 C4 C5 C6
#> A 6 10 7 9 5 10
#> C 4 2 3 1 1 1
#> G 5 2 5 3 5 3
#> T 4 5 4 6 7 4
