Algorithm of N queens
Algorithm NQueens ( k, n) //Prints all Solution to the n-queens problem
{
for i := 1 to n do
{
if Place (k, i) then
{
x[k] := i;
-
I've just decided to code my solution of N Queens Puzzle in Python language, down below is code, it is quite fast, in dozens of seconds it finds all solutions for 1-8 queens and in few minutes for 9 queens. It tests agains reference numbers in Counting Solutions section of wiki.
Solution uses recursive back-tracking approach and fast numpy library, also it searches solutions only in lexicographical order of combinations, all permutations of queens in same positions are considered to be same and all permutations except first are not searched at all. So algorithm is quite fast.
Try it online!
def Main(): import numpy as np con_width = 80 # Console width for h, w, n, rcnt in [ # h - heignt, w - width, n - num queens # Create all tests here ] + [(i + 1, i + 1, i + 1, rcnt) for i, rcnt in enumerate([ # See https://oeis.org/A000170/b000170.txt 1, 0, 0, 2, 10, 4, 40, 92, 352, 724, 2680, 14200, 73712, 365596, 2279184, 14772512, 95815104, 666090624, 4968057848, 39029188884, ])]: # Create empty board board = np.zeros([h, w], dtype = np.int8) sols = {} # Recursive function for placing next queen using back-propagation def Solve(*, qcnt = 0, fy = 0, fx = 0): nonlocal board, sols if qcnt >= n: sola = np.nonzero(board > 0) sol = tuple((y, x) for y, x in zip(sola[0].tolist(), sola[1].tolist())) assert sol not in sols sols[sol] = np.copy(board) return # Find coordinates of all available positions (zeroes) av = np.nonzero(board == 0) # Skip previous placed results ava = np.vstack(av).T avc = np.count_nonzero((ava[:, 0] < fy) | ((ava[:, 0] == fy) & (ava[:, 1] < fx))) av = (av[0][avc:], av[1][avc:]) for i in range(av[0].shape[0]): # Get next available position y, x = av[0][i], av[1][i] assert board[y, x] == 0, (y, x, board[y, x]) # Try placing queen into (y, x) ps = np.zeros([2, 0], dtype = np.int32) # Same row ps = np.concatenate((ps, [np.full([w], y), np.arange(w)]), 1) # Same column ps = np.concatenate((ps, [np.arange(h), np.full([h], x)]), 1) # Same primary diagonal if y < x: dlen = min(h, w - (x - y)) ps = np.concatenate((ps, [np.arange(dlen), np.arange(x - y, x - y + dlen)]), 1) else: dlen = min(w, h - (y - x)) ps = np.concatenate((ps, [np.arange(y - x, y - x + dlen), np.arange(dlen)]), 1) # Same secondary diagonal dlen = min(h, w, x + y + 1) ps = np.concatenate((ps, [ np.arange((x + y) - min(x + y, w - 1), min(x + y, h - 1) + 1), np.arange(min(x + y, w - 1), max(0, x + y - (h - 1)) - 1, -1), ]), 1) ps = (ps[0, :].astype(np.int32), ps[1, :].astype(np.int32)) #print('placing', qcnt + 1, '(', y, x, ')\n', ps, '\n', board) # Backup current values in positions cvs = np.copy(board[ps]) # Attack all positions board[ps] = -1 # Place queen board[y, x] = qcnt + 1 #print('placed\n', board) # Recurse Solve(qcnt = qcnt + 1, fy = (y + 1, y)[bool(x + 1 < w)], fx = (x + 1) % w) # Undo placed queen and attacked positions board[ps] = cvs print(f'Testing: h = {h}, w = {w}, n = {n}, sols = {rcnt}\n') Solve() lcnt = con_width // (w + 1) sols = sorted(sols.items(), key = lambda e: e[0]) for ibl in range((len(sols) + lcnt - 1) // lcnt): for l in range(h): for i in range(ibl * lcnt, min((ibl + 1) * lcnt, len(sols))): sol = sols[i][1] print(''.join([('.', 'X')[e] for e in (sol[l, :] > 0).astype(np.uint8).tolist()]) + ' ', end = '') print() print() num_sols = len(sols) print(f'Result: h = {h}, w = {w}, n = {n}, sols = {num_sols}') print('-' * con_width) if rcnt is not None: assert num_sols == rcnt, (h, w, n, num_sols, rcnt) Main()It outputs:
Testing: h = 1, w = 1, n = 1, sols = 1 X Result: h = 1, w = 1, n = 1, sols = 1 -------------------------------------------------------------------------------- Testing: h = 2, w = 2, n = 2, sols = 0 Result: h = 2, w = 2, n = 2, sols = 0 -------------------------------------------------------------------------------- Testing: h = 3, w = 3, n = 3, sols = 0 Result: h = 3, w = 3, n = 3, sols = 0 -------------------------------------------------------------------------------- Testing: h = 4, w = 4, n = 4, sols = 2 .X.. ..X. ...X X... X... ...X ..X. .X.. Result: h = 4, w = 4, n = 4, sols = 2 -------------------------------------------------------------------------------- Testing: h = 5, w = 5, n = 5, sols = 10 X.... X.... .X... .X... ..X.. ..X.. ...X. ...X. ....X ....X ..X.. ...X. ...X. ....X X.... ....X X.... .X... .X... ..X.. ....X .X... X.... ..X.. ...X. .X... ..X.. ....X ...X. X.... .X... ....X ..X.. X.... .X... ...X. ....X ..X.. X.... ...X. ...X. ..X.. ....X ...X. ....X X.... .X... X.... ..X.. .X... Result: h = 5, w = 5, n = 5, sols = 10 -------------------------------------------------------------------------------- Testing: h = 6, w = 6, n = 6, sols = 4 .X.... ..X... ...X.. ....X. ...X.. .....X X..... ..X... .....X .X.... ....X. X..... X..... ....X. .X.... .....X ..X... X..... .....X ...X.. ....X. ...X.. ..X... .X.... Result: h = 6, w = 6, n = 6, sols = 4 -------------------------------------------------------------------------------- Testing: h = 7, w = 7, n = 7, sols = 40 X...... X...... X...... X...... .X..... .X..... .X..... .X..... .X..... .X..... ..X.... ...X... ....X.. .....X. ...X... ...X... ....X.. ....X.. ....X.. .....X. ....X.. ......X .X..... ...X... X...... .....X. X...... ..X.... ......X ..X.... ......X ..X.... .....X. .X..... ......X X...... ...X... X...... ...X... ......X .X..... .....X. ..X.... ......X ....X.. ..X.... ......X ......X X...... ...X... ...X... .X..... ......X ....X.. ..X.... ....X.. ..X.... ...X... ..X.... 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Result: h = 7, w = 7, n = 7, sols = 40 -------------------------------------------------------------------------------- Testing: h = 8, w = 8, n = 8, sols = 92 X....... X....... X....... X....... .X...... .X...... .X...... .X...... ....X... .....X.. ......X. ......X. ...X.... ....X... ....X... .....X.. .......X .......X ...X.... ....X... .....X.. ......X. ......X. X....... .....X.. ..X..... .....X.. .......X .......X X....... ...X.... ......X. ..X..... ......X. .......X .X...... ..X..... ..X..... X....... ...X.... ......X. ...X.... .X...... ...X.... 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