数理统计二（概率论）

一，条件概率
1. 概念
事件A已发生的条件下事件B发生的概率。（记为P(B|A)）
2. 定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0，称 P(B/A)=P(AB)P(A)$P(B/A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

二，乘法定理
1、定义：设P(A)>0，则有P(AB)=P(B|A)P(A)称 为乘法公式。
2、推广：P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)

三，全概率公式和贝叶斯公式
1、样本空间的划分
（1）定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事件。若
（Ⅰ） BiBj=ф，i≠j,i,j=1,2,…,n;
（Ⅱ）B1∪B2 ∪ … ∪ Bn=S
则称B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分。
（2）举例：设试验E为“掷一颗骰子观察点数”，它的样本空间为 S={1,2,3,4,5,6}。 E的一组事件B1={1,2,3}， B2={4,5}， B3={6}是S的一个划分。
2、全概率公式
（1）定义：设试验E的样本空间S，A为E的事件，B1,B2,…,Bn$B1,B2,\dots ,Bn$ 为S的一个划分，且 P(Bi)>0(i=1,2,…,n)，$P(Bi)>0(i=1,2,\dots ,n)，$ 则
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)$P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+\dots +P(A|Bn)P(Bn)$
则称以上为全概率公式
3. 贝叶斯公式
（1）定义：设试验E的样本空间S，A为E的事件，B1,B2,…,Bn为S的一个划分，且 P(A)>0，P(Bi)>0(i=1,2,…,n)，则

P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)∑nj=1P(A|Bj)P(Bj)$$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum _{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)}$$

则称以上为贝叶斯公式。

四，两事件独立
定义1 设A、B是两事件，若满足等式
P(AB)＝P(A)P(B)
则称事件A与B相互独立。
定理一：设A、B是两事件，且P(A)>0.若A、B相互独立则 P(B)＝ P(B|A)；反之亦然。
定理二：若事件A与事件B相互独立，则下列各对事件也相互独立。
A与B$\stackrel{}{B}$，A$\stackrel{}{A}$与 B，A$\stackrel{}{A}$与B$\stackrel{}{B}$

五，三个事件独立
定义2 设A、B、C是三个事件，若满足等式
P(AB)＝P(A)P(B)$P(AB)＝P(A)P(B)$
P(BC)＝P(B)P(C)$P(BC)＝P(B)P(C)$
P(AC)＝P(A)P(C)$P(AC)＝P(A)P(C)$
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)$P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)$
则称事件A、B、C相互独立。

文章来源: 数理统计二（概率论）