矩阵的基本运算

一、矩阵的加法与减法 　　1、运算规则 　　设矩阵 ， ， 　　则 　　　　　 　　简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 　　注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．

2、 运算性质 （假设运算都是可行的） 　　满足交换律和结合律 　　交换律　 ； 　　结合律　 ．

二、矩阵与数的乘法 　　1、 运算规则 　　数 乘矩阵A，就是将数 乘矩阵A中的每一个元素，记为 或 ． 　　特别地，称 称为 的负矩阵． 　　2、 运算性质 　　满足结合律和分配律 　　结合律： (λμ)A=λ(μA) ； (λ+μ)A =λA+μA． 　　分配律： λ (A+B)=λA+λB．

典型例题 　　例6.5.1　已知两个矩阵 　　满足矩阵方程 ，求未知矩阵 ． 　　解　由已知条件知

三、矩阵与矩阵的乘法 　　1、 运算规则 　　设 ， ，则A与B的乘积 是这样一个矩阵： 　　(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ． 　　(2) C的第 行第 列的元素 由A的第 行元素与B的第 列元素对应相乘，再取乘积之和．

典型例题 　　例6.5.2　设矩阵 　　计算 　　解　 是 的矩阵．设它为 　　　　 　　　　 　　想一想：设列矩阵 ，行矩阵 ， 和 的行数和列数分别是多少呢 　　 是3×3的矩阵， 是1×1的矩阵，即 只有一个元素．

课堂练习 　　1、设 ， ，求 ． 　　2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算． 　　3、设列矩阵 ，行矩阵 ，求 和 ，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？ 　　4、设三阶方阵 ，三阶单位阵为 ，试求 和 ，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论．

解： 　　第1题 ．　　第2题 　　对于 ， ．　　求 是有意义的，而 是无意义的．

结论1　只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数． 　　第3题 　　 是 矩阵， 是 的矩阵． ． 结论2　在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在 与 均有意义时，也未必有 = 成立．可见矩阵乘法不满足交换律． 　　第4题 　　计算得： ． 　　结论3　方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即 ． 　　单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用．

典型例题 　　例6.5.3　设 ，试计算 和 ． 　　解　 　　　　　　 　　　　　　 ． 　　　　 　　　　　　 　　　　　　 结论4　两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若 ，不能得出 或 的结论．

例6.5.4　利用矩阵的乘法，三元线性方程组 　　可以写成矩阵的形式 ＝ 　　若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为 ， ， ，　　则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式： ．

2、 运算性质（假设运算都是可行的） 　　(1)　结合律　 ． 　　(2)　分配律　 （左分配律）； 　　　　　　　　　 （右分配律）． 　　(3)　 ． 　　 3、 方阵的幂 定义：设A是方阵， 是一个正整数，规定 ， 显然，记号 表示 个A的连乘积．

四、矩阵的转置 　　1、 定义 定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作 或 ． 　　例如，矩阵 的转置矩阵为 ． 　　2、运算性质（假设运算都是可行的） 　　(1)　 　　(2)　 　　(3)　 　　(4)　 ， 是常数．

典型例题 　　例6.5.5 　　验证运算性质： 　　解　 ； 　　而 　　　　 　　所以 　　　 ．

定义：如果方阵满足 ，即 ，则称A为对称矩阵． 　　对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．

五、方阵的行列式 　　1、定义 定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作 或 ． 　　2 、运算性质 　　(1) （行列式的性质） 　　(2) ，特别地： 　　(3) （ 是常数，A的阶数为n） 　　思考：设A为 阶方阵，那么 的行列式 与A的行列式 之间的关系为什么不是 ，而是 ？

不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下 和 ． 　　例如 ，则 ． 　　于是 ，而 ． 　　思考：设 ，有几种方法可以求 ？ 　　解 ，得到一个二阶方阵，再求其行列式． 　　　　方法二：先分别求行列式 ，再取它们的乘积

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