LOJ#6389. 「THUPC2018」好图计数 / Count【生成函数】

传送门

终于卡过去了……
这题和求无标号有根树个数的思路差不多，可以先看这里，因为下面一些公式演算会省略中间过程。

设大小为 n$n$ 的好图数目为fn$f_n$，其中连通的数目为gn$g_n$
注意但n≥2$n\ge 2$时，不连通的好图和连通的好图一一对应，即gn=fn/2$g_n=f_n/2$

考虑生成函数F(x)=∑fixi$F(x)=\sum f_i{x}^i$，为何方便，我们设f0=1$f_0=1$。
一个好图是由若干个连通好图拼成，即

F(x)=∏k>0(∑i≥0xik)gk=∏k>0(1xk)gk$$F(x)=\prod _{k>0}(\sum _{i\ge 0}{x}^{ik}{)}^{g_k}=\prod _{k>0}(1x^k{)}^{g_k}$$

两边取In$In$再求导得

F′(x)F(x)=∑k>0kgkxk11xk$$\frac{F^{\prime }(x)}{F(x)}=\sum _{k>0}k{g}_k\frac{x^{k1}}{1x^k}$$

F′(x)=F(x)∑k>0kgkxk11xk$$F^{\prime }(x)=F(x)\sum _{k>0}k{g}_k\frac{x^{k1}}{1x^k}$$

再拆回每一项看：

[xn]F(x)=(n+1)fn+1=∑i=0nfi([xni]∑k>0kgkxk11xk)$$[x^n]F(x)=(n+1)f_{n+1}=\sum _{i=0}^n{f}_i([x^{ni}]\sum _{k>0}k{g}_k\frac{x^{k1}}{1x^k})$$

注意xk11xk=xk1+x2k1+x3k1+...$\frac{x^{k1}}{1x^k}=x^{k1}+x^{2k1}+x^{3k1}+...$，所以[xn]xk11xk=[k|n+1]$[x^n]\frac{x^{k1}}{1x^k}=[k|n+1]$，所以

(n+1)fn+1=∑i=0nfi∑k|n+1ikgk$$(n+1)f_{n+1}=\sum _{i=0}^n{f}_i\sum _{k|n+1i}k{g}_k$$

注意i=0$i=0$时要移项，且f0=1,gi=fi/2$f_0=1,g_i=f_i/2$，所以得：

n+12fn+1=∑k|n+1,k<n+1kgk+∑i=1nfi∑k|n+1ikgk$$\frac{n+1}{2}{f}_{n+1}=\sum _{k|n+1,k<n+1}k{g}_k+\sum _{i=1}^n{f}_i\sum _{k|n+1i}k{g}_k$$

设si=∑k|ikgk$s_i=\sum _{k|i}k{g}_k$就可以O(n2)$O(n^2)$递推了，卡常可过。
也可以分治FFT做到O(nlog2n)$O(nlo{g}^{2}n)$

#include<bits/stdc++.h> #define ll unsigned long long using namespace std; int getint() {     int i=0,f=1;char c;     for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());     if(c=='-')c=getchar(),f=-1;     for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';     return i*f; } const int N=100005; int T,n=23333,mod; inline void add(ll &x,int y){x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;} ll f[N],g[N],s[N]; ll Pow(ll x,int y) {     ll res=1;     for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)         if(y&1)res=res*x%mod;     return res; } int main() {     //freopen("lx.in","r",stdin);     T=getint(),mod=getint();     f[0]=f[1]=1;for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=1;     for(int i=1;i<n;i++)     {         __int128 tmp=0;         for(int j=0;j<=i;j++)tmp+=f[j]*s[i+1-j];tmp%=mod;         g[i+1]=tmp*Pow(i+1,mod-2)%mod,f[i+1]=g[i+1]*2%mod;         for(int j=i+1;j<=n;j+=i+1)add(s[j],tmp);     }     while(T--)cout<<f[getint()]<<'\n';     return 0; }

文章来源: LOJ#6389. 「THUPC2018」好图计数 / Count【生成函数】