使用机器学习排序算法LambdaMART有一段时间了，但一直没有真正弄清楚算法中的所有细节。
学习过程中细读了两篇不错的博文，推荐给大家：
徐博From RankNet to LambdaRank to LambdaMART: An Overview
但经过一番搜寻之后发现，目前网上并没有一篇透彻讲解该算法的文章，所以希望这篇文章能够达到此目的。
本文主要参考微软研究院2010年发表的文章From RankNet to LambdaRank to LambdaMART: An Overview11，并结合自己的理解，试图将RankNet、LambdaRank和LambdaMART这三种算法的所有算法细节讲解透彻。
1. 概述
RankNet、LambdaRank和LambdaMART是三个关系非常紧密的机器学习排序算法。简而言之，RankNet是最基础，基于神经网络的排序算法；而LambdaRank在RankNet的基础上修改了梯度的计算方式，也即加入了lambda梯度；LambdaMART结合了lambda梯度和MART（另称为GBDT，梯度提升树）。这三种算法在工业界中应用广泛，在BAT等国内大厂和微软谷歌等世界互联网巨头内部都有大量应用，还曾经赢得“Yahoo！Learning To Rank Challenge(Track 1)"的冠军。本人认为如果评选当今工业界中三种最重要的机器学习算法，以LambdaMART为代表的集成学习算法肯定占有一席之地，另外两个分别是支持向量机和深度学习。
2. RankNet
2.1 算法基础定义
RankNet解决如下搜索排序问题：给定query集合，每个query都对应着一个文档集合，如何对每个query返回排序后的文档集合。可以想象这样的场景：某位高考生在得知自己的成绩后，准备报考志愿。听说最近西湖大学办得不错，所以就想到网上搜搜关于西湖大学的资料。他打开一个搜索引擎，输入“西湖大学”四个字，然后点击“搜索”，页面从上到下显示了10条搜索结果，他认为排在上面的肯定比下面的相关，所以就开始从上往下一个个地浏览。所以RankNet的目标就是对所有query，都能将其返回的文档按照相关性进行排序。
RankNet网络将输入query的特征向量x∈Rnx∈Rn映射为一个实数f(x)∈Rf(x)∈R。RankNet采用pairwise的方法进行模型训练。具体地，给定特定query下的两个文档UiUi和UjUj，其特征向量分别为xixi和xjxj，经过RankNet进行前向计算得到对应的分数为si=f(xi)si=f(xi)和sj=f(xj)sj=f(xj)。用UiUjUiUi比UjUj排序更靠前（如对某个query来说，UiUi被标记为“good”，UjUj被标记为“bad”）。继而可以用下面的公式来表示UiUi应该比UjUj排序更靠前的概率：
这个概率实际上就是深度学习中经常使用的sigmoid函数，参数σσ决定sigmoid函数的形状。对于特定的query，定义Sij∈{0,±1}Sij∈{0,±1}为文档ii和文档jj被标记的标签之间的关联，即
定义Pij=12(1+Sij)UiUi应该比UjUj排序更靠前的已知概率，则可以用交叉熵定义优化目标的损失函数：
如果不太熟悉什么是交叉熵，可以参考宗成庆老师的《统计自然语言处理》2.2节“信息论基本概念”，里面将熵、联合熵、互信息、相对熵、交叉熵和困惑度等概念都讲得相当清楚。
结合以上多个公式，可以改写损失函数CC为：
对于Sij=1Sij=1，
然而对于Sij=1
可以看出损失函数CC具有对称性，也即交换ii和jj的位置，损失函数的值不变。
分析损失函数CC的趋势发现，如果对文档UiUi和UjUj的打分可以正确地拟合标记的标签，则CC趋向于0，否则CC趋向于线性函数。具体地，假如Sij=1Sij=1，也即UiUi应该比UjUj排序高，如果si>sjsi>sj，则拟合的分数可以正确排序文档ii和文档jj，
如果si<sjsi<sj，则拟合的分数不能正确排序文档ii和文档jj，
利用神经网络对模型进行训练，目前最有效的方法就是反向传播算法。反向传播算法中最核心部分就是损失函数对模型参数的求导，然后可以使用下面的公式对模型参数进行迭代更新：
损失函数CC对sisi和sjsj的偏导数为：
sisi和sjsj对wkwk的偏导数可根据神经网络求偏导数的方式求得。求得了损失函数CC对神经网络模型参数wkwk的偏导数之后，就可以使用梯度下降算法对其更新。这里的学习率ηη也是一个正数，因为ηη需要满足下面的不等式：
2.2 RankNet分解形式：加速RankNet训练过程
2.1节中定义的RankNet，对于每一个文档对(Ui(Ui,Uj)Uj)都将计算损失函数对神经网络的参数wkwk的偏导数，然后更新模型参数wkwk。这样做的缺点在于，对模型参数更新慢，耗时长。所以本节讲解如何通过分解组合的方式加快这一训练过程。
对于给定的文档对UiUi和UjUj，损失函数CC对参数wkwk的偏导数为：