先粗略解释一下：
一、公钥加密
假设一下，我找了两个数字，一个是1，一个是2。我喜欢2这个数字，就保留起来，不告诉你们(私钥），然后我告诉大家，1是我的公钥。
我有一个文件，不能让别人看，我就用1加密了。别人找到了这个文件，但是他不知道2就是解密的私钥啊，所以他解不开，只有我可以用数字2，就是我的私钥，来解密。这样我就可以保护数据了。
我的好朋友x用我的公钥1加密了字符a，加密后成了b，放在网上。别人偷到了这个文件，但是别人解不开，因为别人不知道2就是我的私钥，只有我才能解密，解密后就得到a。这样，我们就可以传送加密的数据了。
二、私钥签名
如果我用私钥加密一段数据（当然只有我可以用私钥加密，因为只有我知道2是我的私钥），结果所有的人都看到我的内容了，因为他们都知道我的公钥是1，那么这种加密有什么用处呢？
但是我的好朋友x说有人冒充我给他发信。怎么办呢？我把我要发的信，内容是c，用我的私钥2，加密，加密后的内容是d，发给x，再告诉他解密看是不是c。他用我的公钥1解密，发现果然是c。
这个时候，他会想到，能够用我的公钥解密的数据，必然是用我的私钥加的密。只有我知道我得私钥，因此他就可以确认确实是我发的东西。
这样我们就能确认发送方身份了。这个过程叫做数字签名。当然具体的过程要稍微复杂一些。
用私钥来加密数据的摘要，用途就是数字签名。
总结：公钥和私钥是成对的，它们互相解密。
公钥加密，私钥解密。
私钥数字签名，公钥验证。
要发给我的东西，你们用我的公钥加密，私钥只有我才有，其他哪怕拥有我公钥的人是解不开的。
我想要发出去的东西，用私钥来加密，就是数字签名，凡是拥有我公钥的人都能解开。
具体点再解释一下（开始烂大街的例子，百度全一样）：
1.公钥与私钥原理
1)鲍勃有两把钥匙，一把是公钥，另一把是私钥
2)鲍勃把公钥送给他的朋友们----帕蒂、道格、苏珊----每人一把。
3)苏珊要给鲍勃写一封保密的信。她写完后用鲍勃的公钥加密，就可以达到保密的效果。
4)鲍勃收信后，用私钥解密，就看到了信件内容。这里要强调的是，只要鲍勃的私钥不泄露，这封信就是安全的，即使落在别人手里，也无法解密。
5)鲍勃给苏珊回信，决定采用"数字签名"。他写完后先用Hash函数，生成信件的摘要（digest）。
个人批注：为什么不直接加密文档（信件）本身？假如这个文档是一个很大的视频呢？非对称加解密本身就慢，大文档更是难以操作，所以只加密文档的哈希而不是整个文档本身。如果你想检测签名是否有效，可以解密签名并自己对文档进行哈希转换（生成摘要），看看这两个值（摘要）是否匹配，这样我们就知道所接收的文档与服务器发送是否完全一样。如果文档在传输中被更改了，则哈希与服务器作为签名提供的值（摘要）不匹配，这叫做无效签名。
6)然后，鲍勃使用私钥，对这个摘要加密，生成"数字签名"（signature）。
7)鲍勃将这个签名，附在信件下面，一起发给苏珊。
8)苏珊收信后，取下数字签名，用鲍勃的公钥解密，得到信件的摘要。由此证明，这封信确实是鲍勃发出的。
9)苏珊再对信件本身使用Hash函数，将得到的结果，与上一步得到的摘要进行对比。如果两者一致，就证明这封信未被修改过。
10)复杂的情况出现了。道格想欺骗苏珊，他偷偷使用了苏珊的电脑，用自己的公钥换走了鲍勃的公钥。此时，苏珊实际拥有的是道格的公钥，但是还以为这是鲍勃的公钥。因此，道格就可以冒充鲍勃，用自己的私钥做成"数字签名"，写信给苏珊，让苏珊用假的鲍勃公钥进行解密。
11)后来，苏珊感觉不对劲，发现自己无法确定公钥是否真的属于鲍勃。她想到了一个办法，要求鲍勃去找"证书中心"（certificate authority，简称CA），为公钥做认证。证书中心用自己的私钥，对鲍勃的公钥和一些相关信息一起加密，生成"数字证书"（Digital Certificate）。
12)鲍勃拿到数字证书以后，就可以放心了。以后再给苏珊写信，只要在签名的同时，再附上数字证书就行了。
13)苏珊收信后，用CA的公钥解开数字证书，就可以拿到鲍勃真实的公钥了，然后就能证明"数字签名"是否真的是鲍勃签的。
这里存在的问题是：如果道格想冒充鲍勃发信给苏珊，于是把自己的公钥和一些相关信息一起加密，信息由证书中心审核，身份一定真实，然后生成一份"数字证书"。苏珊用CA公钥解开，发现这不是鲍勃，然后系统就会提示，此消息颁发的数字证书是为别人准备的，其他人可能尝试向您发送欺骗的数据，请忽视它。此时苏珊只知道这是别人的信息，但是不知道这是道格冒充的。
或者苏珊只有A,B,C机构的公钥，苏珊只相信了A,B,C机构，道格可能用不是很正规的D机构来生成“数字证书”，然后苏珊收信后发现这封信用自己所信任的机构公钥解不开。这个时候系统提示这张数字证书不是由受信任的机构颁发的，可以查看证书以便确认您是否信任该验证机构。只有信任了，能打开查看信息。